- •Критерии сходимости Вейерштрасса монотонной последовательности.
- •Теорема о роли бесконечно малой в теории пределов (об эквивалентности утверждений: и , где -бесконечно малая при
- •Первый замечательный предел.
- •Необходимый признак дифференцируемости ф-ии в точке
- •Теорема Ферма
- •Теорема Роля
- •Теорема Лагранжа.
- •Теорема Коши
- •Теорема о дифференцируемости параметрически заданной функции.
- •Правило Лопиталя для неопределённости вида 0/0
- •Аналитические признаки строгой монотонности (достаточные условия строгой монотонности)
- •Первый достаточный признак локального экстремума.
- •Достаточное условие выпуклости и вогнутости графика функции.
- •Критерий существования наклонной асимптоты.
- •21 Теорема об инвариантности формы первого дифференциала
- •22 Теорема о дифференцируемости сложной ф-ии(1 композиция)
- •23 Понятие градиента. Свойства градиента
- •24 Теорема о необходимом условии существования экстремума функции двух переменных
- •25 Теорема необходимый признак дифференцируемости фнп
- •27 Теорема о непрерывности дифференцируемой фнп в точке
- •Теорема Производная обратной функции
- •Оглавление
Достаточное условие выпуклости и вогнутости графика функции.
Если функция f(x) дважды дифференцируема на интервале (a,b) и ее производная f’’(x)>0 на интервале (a,b) то график функции y = f(x) выпуклый вниз на интервале (a,b).
Если на промежутке a<x<b вторая производная f’’(x) положительна (отрицательна), за исключением отдельных точек, в которых она равна 0, то кривая y = f(x) в этом промежутке вогнута вверх(вниз).
Действительно, если в промежутке a<x<b вторая производная f’’(x), например, положительна , за исключением отдельных точек, в которых она равна 0 , то первая производная f’(x) – возрастающая, а кривая y=f(x), согласно предыдущему, является вогнутой вверх.
Если f’’(x) = 0 не в отдельных точках, а в некотором промежуткеf’(x) – постоянная функция, а f(x) – линейная функция, график ее – прямая линия , и говорить о вогнутости не имеет смысла.
Критерий существования наклонной асимптоты.
Для того чтобы прямая y = kx + b была наклонной асимптотой необходимо и достаточно, чтобы существовали пределы ;
Доказательство: Точка Мо(хо,уо) и прямая L: Аx +By + Cz = 0 ,То расстояние d(Mo,L)
Пусть y=kx+b асимптота => d(M,L) 0 => kx – f(x) +b 0 , тогда f(x)-kx b ( при х стремящемуся к плюс бесконечности) существует предел: lim (f(x) – kx) =b, (при х стремящемуся к 0 ) . ( + здесь нада начертить график)
21 Теорема об инвариантности формы первого дифференциала
Если функция z = f(x, y) удовлетворяет условиям, что функции x = x(u, v) и y= y(u, v) дифференцируемы в точке (u0, v0) и, следовательно, имеют в этой точке частные производные x¢u , x¢v , y¢u , y¢v , а функция z = f(x, y) дифференцируема в точке (x0,y0), где x0 = x(u0, v0), y0 = y(u0, v0). Тогда в точке (u0, v0) существуют и частные производные z¢u , z¢v сложной функции z = f(x(u, v), y(u, v)) и , то
Доказательство:
найдем = ()
()=+= чтд
22 Теорема о дифференцируемости сложной ф-ии(1 композиция)
Если функции x = x(t) и y = y(t) дифференцируемы в точке t0Î(a, b), а функция z = f(x, y) дифференцируема в точке (x0,y0)ÎD, где x0=x(t0), y0= y(t0), то сложная функция z = f(x(t),y(t)) дифференцируема в точке t0 и в этой точке
Доказательство:
т.к. z = f(x, y) дифференцируема в (x0,y0) то
где и при . Выберем Δx и Δy специальным образом зависящие от Δt
и
в силу непрерывности функции x(t) и y(t)
По условию :
Функции и дифференцируемы в точке и непрерывные то
тогда . При получаем
23 Понятие градиента. Свойства градиента
Градиентом скалярного поля u = u(x, y, z) в точке M0 называется вектор .
Свойства:
1. Градиент в данной точке M0 связан с производной по направлению формулой .
Доказательство:
==
=
2. Градиент в данной точке M0 указывает направление наискорейшего изменения поля в этой точке, а есть наибольшая скорость изменения поля в точке M0 если направление совпадает с (иначе наименьшее значение).
Доказательство:
; ; max =
3.Производная по направлению вектора, касательного к поверхности уровня равна нулю.
Доказательство:
U(x,y,z)=C =>
24 Теорема о необходимом условии существования экстремума функции двух переменных
Функция z=f(x,y) имеет max в точке М0(х0,у0), если f(x0,y0)>f(x,y) для любого(х,у), достаточно близких к (.)(х0,у0) и отличных от нее.
Функция Z=f(x,y) имеет min в точке М0(х0,у0), если F(x0,y0)<f(x,y) выполняется для любых точек (х,у), достаточно близких к точке (х0,у0), но отличных от нее.
Точки максимума и минимума функции называются экстремумами функции z=f(x,y); точки в которой частные производные dz/dx=0 dz/dy=0 или не существуют называются критическими.
Теорема. Если функция z=f(x,y) достигает экстремума при х=х0, у=у0, то каждая частная производная первого порядка от Z либо обращается в нуль при этих значениях, либо не существует.
Доказательство:
Пусть у=у0. Тогда f(x,y0) будет функцией одного пременного х. Т.к при х=х0 она имеет экстремум (max или min), то => (dz/dx)x=x0 y=y0 =0 или не существует. Аналогично можно доказать, что (dz/dy)x=x0 y=y0 =0 нулю или не существует. Данное условие не является достаточным условием экстремума в т. Х0, у0.
Достаточное условие: Пусть дана z=f(x,y)? введем следующие обозначения: a11=d2z/dx2 a12=d2z/dxdy a22=d2z/dy2 δ=
Пусть в некоторой области, содержащей точку М0(х0,у0) функция z=f(x,y) имеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно. Пусть, кроме того точка М0 является критической точкой функции z=f(x,y), т.е: (df(x0,y0))/dx=0; (df(x0;y0))/dy=0, тогда при х=х0, у=у0:
-
f(x,y) имеет минимум, если a11>0, δ>0 (d2f(x0,y0)>0)
-
f(x,y) имеет максимум, если a11<0, δ>0 (d2f(x0,y0)<0)
-
функция F(x,y) не имеет ни максимума ни минимума, если δ<0 (d2f(x0,y0) меняет знак)
-
если δ=0, то экстремум в точке (х0,у0) может существовать, а может и нет