25 Теорема необходимый признак дифференцируемости фнп

Если f (x) дифференцируема в точке х, то у нее в этой точке существуют все частные производные и .

Доказательство. Дадим приращение х_i только одной переменной х_i , а остальные переменные оставим без изменения. Тогда

,

где при х_i0. Деля на х_i

и устремляя к нулю, получим

,

что и требовалось доказать. 

27 Теорема о непрерывности дифференцируемой фнп в точке

Если функция u=(…) дифференцируема в точке то она непрерывна в этой точке

Доказательство:

Пусть u=(…) – дифференцируема в точке тогда её приращение

где , - числа,

-б.м. более высокого порядка чем

- определение непрерывности функции

Теорема Производная обратной функции

Пусть обратная функция к функции , имеющей производную в точку , причем ()≠0. Тогда обратная функция

имеет производную в точке (), причем

или

Доказательство

Пусть . Если аргументу дать приращение ,то величина получит приращение . Поэтому

Слева стоит функция от х, а справа получилась функция от у. Чтобы устранить это несоответствие надо в правой части заменить у на . Получим

Оглавление

Критерии сходимости Вейерштрасса монотонной последовательности. 1

Теорема о роли бесконечно малой в теории пределов (об эквивалентности утверждений: и , где -бесконечно малая при 1

Первый замечательный предел. 3

Теорема о произведении двух сходящихся последовательностей 4

Теорема об ограниченности сходящейся последовательности 5

Критерий сходимости последовательности Коши 5

Теорема о непрерывности и дифференцируемости функции одного аргумента в данной точке 6

Теорема о производной сложной функции. 7

Теорема о дифференцируемости произведения двух функций. Теорема о производной произведения двух функций 8

Необходимый признак дифференцируемости ф-ии в точке 9

Теорема Ферма 10

Теорема Роля 11

Теорема Лагранжа. 11

Теорема Коши 13

Теорема о дифференцируемости параметрически заданной функции. 13

Правило Лопиталя для неопределённости вида 0/0 15

Аналитические признаки строгой монотонности (достаточные условия строгой монотонности) 17

Первый достаточный признак локального экстремума. 17

Достаточное условие выпуклости и вогнутости графика функции. 18

Критерий существования наклонной асимптоты. 18

21 Теорема об инвариантности формы первого дифференциала 19

22 Теорема о дифференцируемости сложной ф-ии(1 композиция) 19

23 Понятие градиента. Свойства градиента 21

24 Теорема о необходимом условии существования экстремума функции двух переменных 22

25 Теорема необходимый признак дифференцируемости ФНП 23

27 Теорема о непрерывности дифференцируемой ФНП в точке 23

Теорема Производная обратной функции 23

25