Задача 5

Задачи на равномерное и показательное распределения.

Случайная величина равномерно распределена на отрезке .

1. Найти и и построить их графики.

2. Найти вероятность события . ■ 0,5

3. Найти числовые характеристики случайной величины .

■ .

1. Шкала рычажных весов, установленных в лаборатории, имеет цену деления 1 г. При измерении массы химических компонентов смеси отсчет делается с точностью до целого деления с округлением в ближайшую сторону. Какова вероятность того, что абсолютная ошибка определения массы:

а) не превысит величины среднеквадратического отклонения возможных ошибок определения массы? ■ 0,577.

б) будет заключена между и ■ 0,423.

2. Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2. Показания прибора округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете модуль ошибки будет:

а) меньше 0,04; ■ 0,4.

б) больше 0,05. ■ 0,5.

3. Шкала угломерного инструмента имеет цену деления в 1°. Отсчет делается с точностью до целого деления с округлением в ближайшую сторону. Пусть случайная величина – допущенная при отсчете ошибка (с учетом знака). Найти функцию распределения и плотность распределения вероятности .

Найти вероятность того, что допущенная при отсчете ошибка превзойдет 20. ■ 0,167.

Какова вероятность того, что модуль допущенной ошибки не превзойдет 20? ■0,667.

4. Случайная величина распределена равномерно; . Найти . ■ 0,333.

5. Случайная величина распределена равномерно на отрезке , где – неизвестный параметр. Найти и , если . ■ .

6. Плотность вероятности равномерно распределенной случайной величины равна 0,25. Вероятность того, что в двух независимых испытаниях оба раза принимает значения из отрезка, равна 0,5625. Вероятность того, что в двух независимых испытаниях оба раза принимает значения из отрезка , равна 0,0625. Найти и . ■ 3; 1,333.

7. Случайная величина имеет показательное распределение с параметром . Найти . ■ 0,989.

8. Функция распределения случайного времени без­отказной работы радиоаппаратуры имеет вид: . Найти:

а) вероятность безотказной работы аппаратуры в течение времени не меньше ; ■ 0,368.

б) плотность вероятности.

9. Доказать, что если непрерывная случайная величина распределена по показательному закону с параметром , то вероятность того, что примет значение меньшее, чем , не зависит от величины параметра .

■.

10. Случайная величина имеет показательное распределение с параметром . Найти вероятность событий .

■ 0,368; 0,135; 0,05.

11. Параметры и нормально распределенной случайной величины равны соответственно 10 и 2. Найти вероятность события . ■ 0,136.

12. Плотность вероятности нормально распределенной случайной величины имеет вид: .

Найти:

а) коэффициент ; ■ 0,133.

б) параметр ; ■ 3.

в) вероятность попадания случайной величины в интервал . ■ 0,341.

13. Диаметр втулок можно считать нормально распределенной величиной с параметрами и . Написать выражение для функции плотности вероятности. В какой интервал, симметричный относительно , попадет с вероятностью 0,9973? ■ (2,47; 2,53).

14. Производится взвешивание некоторого вещества. Систематических ошибок нет, случайные ошибки взвешивания подчинены нормальному закону распределения со средним квадратическим отклонением  г. Найти вероятность того, что взвешивание будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 10 г. ■ 0,383.

15. Заказчику необходимо получить 5000 стальных стержней диаметром 2,0±0,012 см. На имеющемся оборудовании производятся стержни, диаметры которых можно считать нормально распределенными с параметрами см. и см. Сколько из 5000 купленных стержней окажутся неприемлемыми для заказчика?

■ Ожидаемое число неподходящих стержней равно 82.

16. Длина изделия является нормально распределенной случайной величиной с математическим ожиданием 22мм и средним квадратическим отклонением 0,2 мм. Найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, в который с вероятностью 0,9544 попадает .

■ (21,6; 22,4).

17. Магазин намерен закупить 1000 мужских рубашек, размеры которых равны 13,0; 13,5; 14,0; 14,5; 15,0 и т. д. Из опыта известно, что случайная величина – размер рубашки некоторого мужчины – нормально распределена с параметрами и . Сколько рубашек размера 15,5 следует заказать магазину? ■ Примерно 124 рубашки.

18. Заряд охотничьего пороха взвешивается на весах. Ошибка взвешивания нормально распределена. Средняя квадратическая ошибка взвешивания 150 мг. Номинальный вес порохового заряда равен 2,3 г. Определить вероятность повреждения ружья, если максимально допустимый вес порохового заряда равен 2,5 г. ■ 0,0918.

19. При изготовлении стального листа для автомобильных кузовов некоторые места, подверженные коррозии, следует подвергнуть гальванизации, покрывая стальной лист тонкой пленкой цинка. Плотность слоя покрытия должна быть не меньше 0 01 г/см². Плотность покрытия можно считать нормально распределенной случайной величиной с параметрами  г/см² и г/см². Какая доля стальных листов не будет удовлетворять требованиям заказчика. ■ 0,6 %.

20. Параметры и нормально распределенной случайной величины X равны соответственно 10 и 2. Найти вероятность события . ■ 0,136.