- •Глава 3 Предельное значение функции. Непрерывность § 1. Предел функции
- •§ 2. Односторонние пределы функции
- •§ 3. Предел отношения синуса к своей дуге
- •§ 4. Число e
- •§ 5. Предел функции при
- •§ 6. Натуральные логарифмы. Показательная функция . Гиперболические функции
- •§ 7. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •§ 8. Свойства конечных пределов, связанные с арифметическими действиями над функциями
- •§ 9. Сравнение бесконечно малых функций
- •§ 10. Непрерывность функций
- •§ 11. Свойства непрерывных функций
- •2. Арифметические операции над непрерывными функциями.
- •3. Непрерывность сложной функции.
- •§ 12. Непрерывность элементарных функций
- •§ 13. Свойства функций, непрерывных в замкнутом промежутке
- •§ 14. Понятие обратной функции
- •§ 15. Непрерывность элементарных функций (продолжение)
- •§ 16. Три важных предела
- •§ 17. Степенно-показательные выражения
- •§ 18. Теоремы Вейерштрасса
- •§ 19. Понятие равномерной непрерывности функции. Теорема Кантора
- •§ 20. Точки разрыва функций и их классификация
§ 14. Понятие обратной функции
Определение. Функция , заданная на множестве , называется обратимой, если неравным значениям аргумента отвечают неравные же значения функции, т. е. если , то и .(Здесь и — любые две точки из ).
Пусть функция — обратимая, заданная на множестве , и пусть — множество всех значений этой функции.
Возьмем любое . Ясно, что на множестве найдется одно и только одно значение такое, что . Таким образом, каждому значению из множества отвечает совершенно определенное значение ( и такое, что ). Это означает, что есть функция от , определенная на множестве , т. е. , . Функция , определенная на множестве , называется обратной функцией для функции , определенной на множестве X.
Определение. Пусть функция задана на промежутке X. Если из неравенства: , где и — любые две точки из , следует неравенство: , то функция называется строго возрастающей в промежутке X.
Если же из неравенства: , где и — любые две точки из , следует неравенство: , то функция называется строго убывающей в промежутке X.
Отметим, что функции строго возрастающие и строго убывающие являются обратимыми.
Теорема. Пусть функция определена в промежутке () и является там строго возрастающей и непрерывной. Тогда у функции имеется обратная функция , определенная в промежутке , где , , причем эта функция строго возрастающая и непрерывная в промежутке .
► Функция строго возрастающая в , следовательно, она обратима и потому у нее существует обратная функция . Как всегда, эта обратная функция определена на множестве , состоящем из всех значений функции .
1. Покажем, что . Для этого докажем, что: 1) и 2) .
Пусть — любое, принадлежащее (). Это значит, что — одно из значений, принимаемых функцией в промежутке . Следовательно, в промежутке имеется такое, что .
Так как и так как функция строго возрастающая, то , т. е. , а значит, .
Итак, из того, что , следует: . Так как — любой элемент из , то заключаем, что
. (*)
Пусть теперь — любое, принадлежащее (). Покажем, что . Для этого надо показать, что в промежутке обязательно найдется такое, что . Если (у нас ), то таким является . Если (у нас ), то таким является . Если же , то существование требуемого в промежутке вытекает из второй теоремы Больцано-Коши.
Итак, из того, что , следует, что . Так как — любой элемент из , то это означает, что
. (**)
Из того, что и следует, что .
2. Покажем теперь, что функция строго возрастает в . Для этого в промежутке возьмем и — любые, но такие, что . Положим , . Ясно, что и и что , . Так как и — вещественные числа, то, по свойству упорядоченности системы W, обязательно имеет место одно и только одно из трех соотношений: .
Если бы было: , то тогда оказалось бы: , т. е. , а это не так. Значит, соотношение исключается. Если бы было: , то тогда оказалось бы: , т. е. , а это не так. Значит, соотношение исключается. Так как соотношения и исключены, то остается только соотношение , а значит, . Таким образом, получили: из того, что , где и — любые две точки из , следует, что . А это означает, что функция — строго возрастающая в .
3. Остается доказать непрерывность функции в . Возьмем любую точку и установим непрерывность функции в этой точке. Тем самым будет установлена непрерывность функции в промежутке .
Пусть для определенности: . Положим (). Возьмем — любое, но такое, чтобы было: и . Положим , . Ясно, что точки и . Пусть , . Ясно, что точки и принадлежат и (см. рис. 3.10).
Возьмем — любое, удовлетворяющее неравенству:
(4)
Так как функция — строго возрастающая, то из неравенства (4) вытекает неравенство
, (5)
т. е.
.
Подчеркнем еще раз, что неравенство е выполняется для всех , удовлетворяющих неравенству: . Заметив это, положим . Ясно, что , ибо разности и положительные. А тогда всякое , удовлетворяющее условию , будет удовлетворять неравенству (4) и, следовательно, для всякого , удовлетворяющего условию , будет: . А это означает, что функция непрерывна в точке . ◄
Замечание 1. Аналогичная теорема имеет место для строго убывающих функций. Именно.
Пусть функция определена в промежутке () и является там строго убывающей и непрерывной. Тогда у функции имеется обратная функция , определенная в промежутке , где , , причем эта функция строго убывающая и непрерывная в промежутке .
Замечание 2. Справедливы также следующие утверждения.
I. Пусть функция определена в промежутке () и является там строго возрастающей и непрерывной. Тогда у функции имеется обратная функция , определенная в промежутке , где , , причем эта функция строго возрастающая и непрерывная в промежутке .
II. Пусть функция определена в промежутке () и является там строго убывающей и непрерывной. Тогда у функции имеется обратная функция , определенная в промежутке , где , , причем эта функция строго возрастающая и непрерывная в промежутке .
Заметим, что некоторые из чисел могут быть несобственными.