- •Глава 3 Предельное значение функции. Непрерывность § 1. Предел функции
- •§ 2. Односторонние пределы функции
- •§ 3. Предел отношения синуса к своей дуге
- •§ 4. Число e
- •§ 5. Предел функции при
- •§ 6. Натуральные логарифмы. Показательная функция . Гиперболические функции
- •§ 7. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •§ 8. Свойства конечных пределов, связанные с арифметическими действиями над функциями
- •§ 9. Сравнение бесконечно малых функций
- •§ 10. Непрерывность функций
- •§ 11. Свойства непрерывных функций
- •2. Арифметические операции над непрерывными функциями.
- •3. Непрерывность сложной функции.
- •§ 12. Непрерывность элементарных функций
- •§ 13. Свойства функций, непрерывных в замкнутом промежутке
- •§ 14. Понятие обратной функции
- •§ 15. Непрерывность элементарных функций (продолжение)
- •§ 16. Три важных предела
- •§ 17. Степенно-показательные выражения
- •§ 18. Теоремы Вейерштрасса
- •§ 19. Понятие равномерной непрерывности функции. Теорема Кантора
- •§ 20. Точки разрыва функций и их классификация
§ 2. Односторонние пределы функции
Пусть а и А — конечные числа.
Определение. Число А называют правым пределом функции при и пишут: или , если для любого, сколь угодно малого, числа можно указать число такое, что как только и , так сейчас же (т. е. для всех оказывается ; здесь — правая полуокрестность точки а).
Определение. Число А называют левым пределом функции при и пишут: или , если для любого, сколь угодно малого, числа можно указать число такое, что как только и , так сейчас же (т. е. для всех оказывается ; здесь — левая полуокрестность точки а).
Замечание 1. Справедливы утверждения:
1) если у функции при существует предел А в обычном смысле, т. е. двусторонний, то существуют оба односторонних предела: и , причем оба они равны А;
2) если у функции при существуют оба односторонних предела: и и оба они равны числу А, то у при существует двусторонний предел, равный указанным односторонним пределам, т. е. числу А.
В качестве упражнения утверждения 1) и 2) предлагается доказать самостоятельно.
Замечание 2. В определении односторонних пределов функции при число А предполагалось конечным. Отметим, что А может быть и числом несобственным: или .
§ 3. Предел отношения синуса к своей дуге
Установим, что
. (1)
► Так как , то , если эти пределы существуют.Поэтому, чтобы установить (1), достаточно доказать, что существует и равен 1 хотя бы один односторонний предел функции при , например, правый, т. е. достаточно доказать, что
. (2)
Так как мы станем устанавливать справедливость соотношения (2), то можно рассматривать лишь значения , удовлетворяющие неравенству: . В круге радиуса рассмотрим угол , радианная мера которого ; хорду и касательную к окружности в точке А (см. рис. 3.1). Имеем очевидные неравенства: площадь < площади сектора < площади (при этом мы пользуемся теми сведениями о площадях элементарных фигур, которые известны из школьного курса), или
,
откуда
. (3)
Рис. 3.1. К выводу формулы (1) |
.
Вычитая из 1 каждый из членов последнего неравенства, будем иметь
. (4)
Но (в силу(3)). Следовательно, вместо неравенства (4) будем иметь
. (5)
Возьмем — любое, сколь угодно малое (можно считать, что ). Ясно, что если положить (), то для всех , удовлетворяющих неравенству , будет
,
ибо если , то . Значит, , если . Последнее означает, что . Видим, что соотношение (2) установлено, а значит, доказано и соотношение (1). ◄
§ 4. Число e
Определение. Числом е называется предел переменной
при натуральном, стремящемся к бесконечности.
Чтобы оправдать это определение, надо установить, что у переменной существует конечный предел при . Мы установим, что существует, конечный, если покажем, что переменная — возрастающая и ограниченная сверху.
► 1. Покажем, что переменная — возрастающая.
Применяя формулу бинома Ньютона, -й член последовательности можно написать в виде
,
или
. (2)
Аналогично, для -го члена последовательности находим
. (3)
Заметим, что правая часть соотношения (2) имеет слагаемых, а правая часть (3) имеет слагаемых.
Сравнивая и , видим, что первые слагаемые в правых частях (2) и (30 одинаковы, второе, третье и т д. -е слагаемое у больше, чем у , ибо
.
Кроме того, в составе имеется еще -е слагаемое, которого в составе нет и которое является числом положительным. Значит , для любого , и, следовательно, переменная — возрастающая.
2. Покажем теперь, что переменная ограничена сверху. Для этого снова воспользуемся формулой (2). Заменим все разности, стоящие в скобках в правой части этой формулы, на единицы, отчего правая часть увеличится (ведь каждая такая разность меньше единицы). Получим
.
Но
.
Поэтому и подавно
.
Так как
,
то получаем , для любого , т. е. переменная ограничена сверху. (Из формулы (2) видно, что и, следовательно, при всех .)
Итак, показано, что переменная монотонно возрастает и ограничена сверху. Поэтому существует конечный , величина которого заключена между числами 2 и 3. Этот предел обозначается буквой e. ◄
Число е играет большую роль в математическом анализе и его приложениях. Доказано, что е — число иррациональное. Имеются приемы, позволяющие вычислить любое число знаков в его представлении бесконечной десятичной дробью. При этом установлено, что
е = 2,718281828459045... .
Рассмотрим теперь переменную , где — положительные числа, большие 2 ( — не обязательно целые).
Справедливо утверждение: если , то
.
► 1. Рассмотрим сначала случай, когда все значения переменной являются целыми положительными числами. Возьмем — любое, сколь угодно малое.
Мы знаем, что . Значит, взятому отвечает номер такой, что для всех будет
.
По условию . Поэтому можно утверждать, что, начиная с некоторого места, т. е. при () будет: . У нас, по предположению, все значения переменной — целые положительные числа. Поэтому при всех будет иметь место неравенство
.
А это означает, что .
Отметим, что даже в рассмотренном случае переменная не обязательно монотонно возрастающая.
2. Пусть теперь значения переменной — положительные числа, большие 2, не обязательно целые.
Пусть ( — наибольшее натуральное число, удовлетворяющее неравенству: ). Ясно, что ; , если . Имеем
.
А тогда
(4)
Имеем
;
.
А тогда из (4), по теореме о сжатой переменной, находим
.
Подчеркнем еще раз, что здесь переменная — любая стремящаяся к . ( может и не быть монотонной). ◄