2. Арифметические операции над непрерывными функциями.
Теорема.
Пусть функции
и
определены в промежутке
и непрерывны в точке
.
Тогда в точке
будут непрерывны также функции:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
(частное при условии:
).
► В случае частного
.
А тогда по теореме о стабильности знака
для
и удовлетворяющих условию
.
Следовательно,
определена для
(
).
Установим, например, непрерывность в
точке
функции
.
По условию
и
непрерывны в точке
.
Значит,
,
(
и
— определенные числа).
Но тогда по теореме
о пределе частного двух функций (так
как предел знаменателя
),
имеем:
.
А это равенство
означает, что функция
непрерывна в точке
. ◄
3. Непрерывность сложной функции.
Определение.
Пусть функция
определена в некотором промежутке
,
а функция
определена в промежутке
и такая, что, если
,
то
.
Тогда для
имеет смысл выражение
.
Выражение
представляет собой функцию аргумента
,
определенную в промежутке
.
Эта функция называется сложной
функцией
или суперпозицией
функций
и
.
Замечание.
Предположение, что значения функции
не выходят за пределы промежутка
,
в котором определена функция
,
весьма существенно: если его опустить,
то может получиться и нелепость. Например.
полагая
,
а
,
мы можем рассматривать лишь такие
значения
,
для которых
,
ибо иначе выражение
не имело бы смысла.
Теорема.
Суперпозиция непрерывных функций
непрерывна, т.е. если функция
непрерывна в некоторой точке
,
а функция
непрерывна в соответствующей точке
(
),
то суперпозиция
непрерывна в точке
.
► Возьмем
последовательность
любую, но такую, что
и
.
Тогда, в силу непрерывности функции
в точке
,
будет
,
т.е.
.
(т.к.
,
то
при всех
).
Т.к.
и
,
то, в силу непрерывности функции
в точке
,
будет:
,
т.е
,
т.е.
.
А это и означает, что функция
непрерывна в точке
.
◄
§ 12. Непрерывность элементарных функций
1.
.
Эта функция непрерывна в любой точке
.
► В самом деле,
пусть точка
— любая из
.
Возьмем последовательность
любую, но такую, что
.
Соответствующая последовательность
значений функции будет такой:
Значит,
.
А это означает, что
— непрерывна в точке
.
У нас точка
— любая из промежутка
.
Следовательно,
— непрерывна в промежутке
.
◄
2.
.
Эта функция непрерывна в любой точке
.
► Выберем и закрепим
любую точку
из
.
Возьмем последовательность
любую, но такую, что
.
Соответствующая последовательность
значений функции будет такой:
Значит,
.
А это означает, что
— непрерывна в точке
.
У нас точка
— любая из промежутка
.
Следовательно,
— непрерывна в промежутке
.
◄
3.
.
► Эта функция
непрерывна в любой точке
ибо
.
Следовательно,
непрерывна в промежутке
как произведение конечного числа
функций, непрерывных в этом промежутке. ◄
4.
(
— целая рациональная функция, полином).
► Эта функция
непрерывна в любой точке
как сумма конечного числа функций,
непрерывных в этом промежутке. ◄
5.
и
(
— целая рациональная функция, полином).
► Эта функция, как
отношение двух непрерывных функций,
будет непрерывна в любой точке
,
в которой знаменатель отличен от нуля;
т. е.
будет непрерывна в каждой точке области
своего существования. ◄
Лемма.
Для всех вещественных значений
справедливо неравенство
(*)
► 1) Если
,
то соотношение (*) справедливо (это
очевидно).
2) Пусть
.
При доказательстве соотношения
было получено неравенство
,
если
.
Так как
и
для
,
то
и потому неравенство
может быть записано в виде
.
Следовательно, соотношение (*) справедливо
для значений
,
удовлетворяющих условию
.
3) Пусть
.
Имеем в этом случае
.
Так как всегда
,
то получаем
.
Значит соотношение (*) справедливо для
значений
.
4) Пусть
,
т. е.
.
Имеем
;
,
если
.
В п.п.2) и 3) было доказано:
,
если
.
Значит
,
если
.
Показано,
следовательно, что соотношение (*)
справедливо и для значений
.
◄
6.
.
Утверждаем, что
непрерывна в промежутке
.
► Выберем и закрепим
любую точку
из промежутка
.
Возьмем последовательность
любую, но такую, что
(а значит
).
Этой последовательности значений
аргумента будет соответствовать
последовательность значений функции:
.
Имеем
.
Таким образом, получили
.
У нас
А тогда, по теореме о «сжатой переменной»,
находим, что
.
Так как последнее соотношение справедливо
для любой последовательности
,
сходящейся к
,
то заключаем, что
.
А это означает, что функция
непрерывна в точке
.
У нас точка
— любая из промежутка
.
Следовательно, функция
непрерывна в промежутке
.
◄
7.
.
Утверждаем, что
непрерывна в промежутке
.
► Известно, что
.
Следовательно, функция
непрерывна в промежутке
как суперпозиция двух непрерывных
функций. ◄
8.
.
► Имеем
— непрерывна как отношение двух
непрерывных функций на всей вещественной
оси, за исключением точек, в которых
,
т.е. за исключением точек
.
таким образом, функция
непрерывна в каждой точке области своего
существования. ◄
9.
.
► Имеем
— непрерывна как отношение двух
непрерывных функций на всей вещественной
оси, за исключением точек, в которых
,
т.е. за исключением точек
.
таким образом, функция
непрерывна в каждой точке области своего
существования. ◄