- •Глава 3 Предельное значение функции. Непрерывность § 1. Предел функции
- •§ 2. Односторонние пределы функции
- •§ 3. Предел отношения синуса к своей дуге
- •§ 4. Число e
- •§ 5. Предел функции при
- •§ 6. Натуральные логарифмы. Показательная функция . Гиперболические функции
- •§ 7. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •§ 8. Свойства конечных пределов, связанные с арифметическими действиями над функциями
- •§ 9. Сравнение бесконечно малых функций
- •§ 10. Непрерывность функций
- •§ 11. Свойства непрерывных функций
- •2. Арифметические операции над непрерывными функциями.
- •3. Непрерывность сложной функции.
- •§ 12. Непрерывность элементарных функций
- •§ 13. Свойства функций, непрерывных в замкнутом промежутке
- •§ 14. Понятие обратной функции
- •§ 15. Непрерывность элементарных функций (продолжение)
- •§ 16. Три важных предела
- •§ 17. Степенно-показательные выражения
- •§ 18. Теоремы Вейерштрасса
- •§ 19. Понятие равномерной непрерывности функции. Теорема Кантора
- •§ 20. Точки разрыва функций и их классификация
§ 7. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки а, за исключением, быть может, самой точки а (в точке а функция может быть определена, а может быть и не определена).
Определение. Функция называется бесконечно малой при , если .
Определение. Функция называется бесконечно большой при , когда либо , либо , либо . При этом в случае, когда , говорят, что положительная бесконечно большая; а в случае, когда , говорят, что отрицательная бесконечно большая при .
Замечание. Буква а может обозначать и число, и один из символов: , , .
Определение. Функция называется ограниченной при , если существует постоянное число такое, что для всех значений х в некоторой проколотой окрестности а. При этом под окрестностью а, когда а обозначает один из символов , , , соответственно понимают:
– в первом случае — множество всех х, удовлетворяющих неравенству , где — постоянное положительное число;
– во втором — множество всех х, удовлетворяющих неравенству ;
– в третьем — множество всех х, удовлетворяющих неравенству .
На рис. 3.5 приведены примеры окрестностей , , .
Рис. 3.5. Примеры окрестностей.
Отметим следующие свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций при , вытекающие из соответствующих свойств бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей.
1. Если одна из трех функций , , является бесконечно малой при , то и две другие функции также являются бесконечно малыми при .
2. Если одна из трех функций , , является бесконечно большой при , то и две другие функции также являются бесконечно большими при .
3. Если функция — бесконечно малая при , а функция — ограниченная при то произведение есть бесконечно малая функция при .
4. Если функция — бесконечно большая при , а функция имеет отличный от нуля предел при , то произведение есть бесконечно большая функция при .
5. Если функция — бесконечно малая при и в некоторой проколотой окрестности точки , то есть функция бесконечно большая при .
6. Если функция — бесконечно большая при , то есть функция бесконечно малая при .
Остановимся для примера на доказательстве одного из этих свойств, например, свойства 4 (все другие свойства доказываются совершенно аналогично).
Дано: 1) — бесконечно большая функция при , т. е. ; .
Требуется доказать, что — бесконечно большая функция при .
► Составляем последовательность значений , любую, но такую, что (предполагается, что берутся из окрестности точки и ).
По условию . Но тогда и . По условию — бесконечно большая функция при . Но тогда и — бесконечно большая последовательность при . Следовательно, — бесконечно большая последовательность, как произведение бесконечно большой последовательности и последовательности, имеющей конечный предел, отличный от нуля.
Так как последовательность — любая, сходящаяся к точке , то заключаем, что . А это означает, что функция — бесконечно большая при . ◄
§ 8. Свойства конечных пределов, связанные с арифметическими действиями над функциями
Сразу отметим, что свойства конечных пределов, связанные с арифметическими действиями над переменными, пробегающими последовательности значений, полностью переносятся на случай, когда конечные пределы при имеют функции. При этом предполагается, что все рассматриваемые ниже функции определены в некоторой окрестности точки а, за исключением, быть может, самой точки а.
Упомянутую окрестность точки а будем обозначать через . А тогда — проколотая окрестность точки а.
1. Если функция при имеет конечный предел А, то разность есть бесконечно малая функция при .
► Возьмем последовательность значений любую, но такую, что и .
По условию . Но тогда
.
Так как последовательность — любая, сходящаяся к точке , то заключаем, что . А последнее означает, что разность есть бесконечно малая функция при . ◄
2. Если разность между функцией и некотором постоянным числом А при есть бесконечно малая функция, то число А есть предел функции при .
► Возьмем последовательность значений х любую, но такую, что и .
По условию есть бесконечно малая функция при , т. е. . Но тогда
.
Так как последовательность , сходящаяся к точке а, то заключаем, что . ◄
3. Пусть имеются две функции и , определенные в всюду, за исключением, быть может, точки а. Пусть , , где А и В — конечные числа. Тогда функции также имеют конечный предел при , причем
.
► Возьмем последовательность значений х любую, но такую, что и .
По условию , . Но тогда ; . Следовательно, (для последовательностей это свойство нам известно).
Так как последовательность любая, сходящаяся к точке а, то заключаем, что
. ◄
Заметим, что доказанное свойство распространяется на любое конечное число слагаемых.
4. Пусть имеются две функции и , определенные в всюду, за исключением, быть может, точки а. Пусть , , где А и В — конечные числа. Тогда функция также имеет конечный предел при , причем
.
► Возьмем последовательность значений х любую, но такую, что и .
По условию , . Но тогда , . Но для последовательностей, как мы знаем, имеет место свойство . У нас последовательность любая, сходящаяся к точке а. Следовательно,
. ◄
Заметим, что доказанное свойство распространяется на любое конечное число сомножителей.
5. Пусть имеются две функции ф(х) и у(х), определенные в всюду, за исключением, быть может, точки а. Пусть ; , и , где и — конечные числа и. Тогда функция также имеет конечный предел при , причем
.
► Возьмем последовательность значений х любую, но такую, что и .
Имеем, по условию => . Имеем, далее, => , причем и при всех : . Но для таких последовательностей, как мы знаем, справедливо соотношение
.
Так как последовательность любая, сходящаяся к точке а, то, в соответствии с определением предела функции "на языке последовательностей", заключаем, что
. ◄