- •Глава 3 Предельное значение функции. Непрерывность § 1. Предел функции
- •§ 2. Односторонние пределы функции
- •§ 3. Предел отношения синуса к своей дуге
- •§ 4. Число e
- •§ 5. Предел функции при
- •§ 6. Натуральные логарифмы. Показательная функция . Гиперболические функции
- •§ 7. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •§ 8. Свойства конечных пределов, связанные с арифметическими действиями над функциями
- •§ 9. Сравнение бесконечно малых функций
- •§ 10. Непрерывность функций
- •§ 11. Свойства непрерывных функций
- •2. Арифметические операции над непрерывными функциями.
- •3. Непрерывность сложной функции.
- •§ 12. Непрерывность элементарных функций
- •§ 13. Свойства функций, непрерывных в замкнутом промежутке
- •§ 14. Понятие обратной функции
- •§ 15. Непрерывность элементарных функций (продолжение)
- •§ 16. Три важных предела
- •§ 17. Степенно-показательные выражения
- •§ 18. Теоремы Вейерштрасса
- •§ 19. Понятие равномерной непрерывности функции. Теорема Кантора
- •§ 20. Точки разрыва функций и их классификация
§ 20. Точки разрыва функций и их классификация
Мы знаем, что функция , определенная в точке и некоторой окрестности этой точки, называется непрерывной в точке , если
. (1)
Если же в точке это двойное равенство не выполняется, то точку называют точкой разрыва функции . Точками разрыва будем называть также точки, в которых не определена, но в любой -окрестности которых имеются точки области определения функции .
Могут реализоваться следующие случаи.
1. Существуют конечные
и ,
но . В этом случае точку называют точкой разрыва первого рода. Разность называют скачком функции в точке .
Рассмотрим, например, функцию . Эта функция определена всюду, за исключением точки . Отметим, что в любой -окрестности точки имеются точки области существования функции . Значит, точка есть точка разрыва функции . Имеем
;.
Видим, что и существуют, конечные и что . Значит, точка есть точка разрыва первого рода функции , причем — величина скачка функции в точке .
2. В точке не существует хотя бы один из односторонних пределов функции или в точке хотя бы один из односторонних пределов функции бесконечен. В этом случае точку называют точкой разрыва второго рода.
1) Рассмотрим функцию . Эта функция определена всюду, за исключением точки . Отметим, что в любой -окрестности точки имеются точки области существования функции . Значит, точка есть точка разрыва функции . Имеем
;
.
Вывод: точка есть точка разрыва второго рода функции .
2) Рассмотрим функцию . Эта функция определена всюду, за исключением точки . Отметим, что в любой -окрестности точки имеются точки области существования функции . Значит, точка есть точка разрыва функции . Имеем
; .
Вывод: точка есть точка разрыва второго рода функции .
3) Рассмотрим функцию . Эта функция определена всюду, за исключением точки . В любой -окрестности точки имеются точки области существования функции . Значит, точка есть точка разрыва функции . Имеем: — не существует; — не существует.
Вывод: точка есть точка разрыва второго рода функции .
3. Существуют конечные
и ,
причем , но в точке функция или не определена, или ее частное значение не равно общему значению односторонних пределов. В этом случае точку называют точкой устранимого разрыва.
Рассмотрим функцию . Эта функция определена всюду, за исключением точки . В любой -окрестности точки имеются точки области существования функции . Значит, точка есть точка разрыва функции . Имеем
; .
Видим, что ( не существует).
Вывод: точка есть точка устранимого разрыва функции
Замечание. Если функция имеет в точке разрыв указанного типа, то этот разрыв можно устранить. Для этого нужно доопределить функцию в точке , приняв за значение функции в точке ее предельное значение в этой точке. Так, если в рассмотренном примере положить , то , и функция будет непрерывной в точке .
93