Глава 3 Предельное значение функции. Непрерывность § 1. Предел функции

Станем рассматривать функцию , определенную на некотором множестве , и точку а. Точка а может принадлежать, а может и не принадлежать множеству X, но обладает тем свойством, что в любой -окрестности точки а имеются точки множества X, отличные от а. Например, точка а может быть граничной точкой интервала, на котором определена функция .

Определение 1 («на языке последовательностей»). Составляем последовательность значений аргумента х:

, (1)

произвольную, но такую, что и . Последовательности (1) будет соответствовать последовательность значений функции :

. (2)

Если для любой последовательности (1), сходящейся к а, последовательность (2) имеет своим пределом одно и то же число А, то это число А называется пределом функции при .

Запись: , или при .

Замечание 1. Условие , нужно для того, чтобы имело смысл говорить о последовательности (2).

Замечание 2. Чтобы убедиться в справедливости соотношения:

,

недостаточно взять какую-нибудь последовательность (1), сходящуюся к а, и показать, что соответствующая последовательность (2) сходится к А. Нужно убедиться в том, что последовательность (2) сходится к А при любой последовательности (1), сходящейся к а.

Например, пусть . Эта функция определена на множестве (т. е. определена на всей веществен­ной оси, кроме точки х = 0). Выясним, существует или нет .

Для этого возьмем последовательность . (Здесь , , , …, , …) Видим, что и . Соответствующая последовательность значений функции будет такой:

.

Следовательно, .

Тем не менее, соотношение неверно.

В самом деле, возьмем другую последовательность

(Здесь , , , …, , … .) Видим, что и , а соответствующая последовательность значений функции , ибо

.

Вывод: — не существует.

Рассмотрим теперь другой пример.

Пусть (корень арифметический). Эта функция определена на множестве . Возьмем последовательность любую, но такую, что () и . Для соответствующей последовательности значений функции : будем иметь:

.

В этом примере вычисление, приведшее нас к числу , использует лишь условия () и , оставляя последовательность в остальном произвольной. Значит, всякий раз, когда , пробегая любую последовательность значений (лишь бы ()), величина пробегает последовательность, имеющую своим пределом всегда одно и то же число .

Вывод: .

Замечание 3. В определении 1 предела функции а и А могут обозначать и числа, и символы . Если А — число, то предел называется конечным. Если же А есть один из символов , то предел называется бесконечным.

Определение 2 («на языке »). Пусть а и А — конечные числа. Число А называется пределом функции при , если для любого, сколь угодно малого, числа можно указать число такое, что как только и , так сейчас же .

Множество значений аргумента х из X, удовлетворяющих условиям: и будем называть проколотой -окрестностью точки а и обозначать через .

Сущность соотношения состоит в следующем: значения функции должны содержаться в любой, сколь угодно малой, наперед заданной -окрестности предела А, как только значения независимой переменной оказываются лежащими в надлежащим образом выбранной проколотой -окрестности точки а ( зависит от ).

Замечание 1. Определения 1 и 2 предела функции при равносильны. Это можно доказать.

Замечание 2. В определении предела функции при у нас a и А были конечными числами. Отметим, что a и А могут быть и символами (несобственными числами): . Если либо а, либо А (либо а и А оба сразу) — несобственные числа, то определение предела функции (в зависимости оттого, какой случай имеет место) будет следующим.

1. Пусть — конечное число.

Число А называется конечным пределом функции при , если для любого, сколь угодно малого числа можно указать число такое, что как только (), так сейчас же . В этом случае пишут .

2. Пусть — конечное число.

Число А называется конечным пределом функции при , если для любого, сколь угодно малого числа можно указать число такое, что как только (), так сейчас же . Запись: .

3. Пусть а — конечное число; . Говорят, что при , и пишут , если любому, как угодно большому, числу М > 0 отвечает число такое, что для всех () имеет место неравенство: .

4. Пусть а — конечное число; . Говорят, что при , и пишут , если любому, как угодно большому, числу М > 0 отвечает число такое, что для всех () имеет место неравенство: .

5. Пусть . Говорят, что при , и пишут , если любому, как угодно большому, числу М > 0 отвечает число такое, что как только (), так сейчас же .

6. Пусть . Говорят, что при , и пишут , если любому, как угодно большому, числу М > 0 отвечает число такое, что как только (), так сейчас же .

7. Пусть . Говорят, что при , и пишут , если любому, как угодно большому, числу М > 0 отвечает число такое, что как только (), так сейчас же .

8. Пусть . Говорят, что при , и пишут , если любому, как угодно большому, числу М > 0 отвечает число такое, что как только (), так сейчас же .