- •Глава 3 Предельное значение функции. Непрерывность § 1. Предел функции
- •§ 2. Односторонние пределы функции
- •§ 3. Предел отношения синуса к своей дуге
- •§ 4. Число e
- •§ 5. Предел функции при
- •§ 6. Натуральные логарифмы. Показательная функция . Гиперболические функции
- •§ 7. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •§ 8. Свойства конечных пределов, связанные с арифметическими действиями над функциями
- •§ 9. Сравнение бесконечно малых функций
- •§ 10. Непрерывность функций
- •§ 11. Свойства непрерывных функций
- •2. Арифметические операции над непрерывными функциями.
- •3. Непрерывность сложной функции.
- •§ 12. Непрерывность элементарных функций
- •§ 13. Свойства функций, непрерывных в замкнутом промежутке
- •§ 14. Понятие обратной функции
- •§ 15. Непрерывность элементарных функций (продолжение)
- •§ 16. Три важных предела
- •§ 17. Степенно-показательные выражения
- •§ 18. Теоремы Вейерштрасса
- •§ 19. Понятие равномерной непрерывности функции. Теорема Кантора
- •§ 20. Точки разрыва функций и их классификация
§ 5. Предел функции при
1. Установим сначала, что . На этот раз воспользуемся определением предела функции "на языке последовательностей".
► Составим последовательность — любую, но такую, что и . Соответствующая последовательность значений функции будет такой:
.
Выше мы показали, что
.
Так как — любая последовательность, удовлетворяющая условиям и , то в соответствии с определением предела функции"на языке последовательностей" можно написать . ◄
2. покажем теперь, что и .
► Составим последовательность — любую, но такую, что и . Если положить , то при (и все ). Имеем
=.
Так как и , то получаем
.
Так как — любая последовательность, удовлетворяющая условиям и , то в соответствии с определением предела функции «на языке последовательностей» можно написать . ◄
В выражении заменим переменную на . Получим функцию .
Возьмем последовательность — любую, но такую, что и . Тогда и, следовательно,
.
А это означает, что .
Возьмем теперь последовательность — любую, но такую, что и . Но тогда и, следовательно,
.
А это означает, что .
Так как правый и левый пределы функции в точке существуют и равны , то у этой функции в точке существует обычный (двусторонний) предел, и он равен . Таким образом, установлено, что
.
Отметим, что полученный результат лежит в основе всех приложений числа .
§ 6. Натуральные логарифмы. Показательная функция . Гиперболические функции
Некоторые свойства числа е, которые будут установлены позже, делают выгодным выбор этого числа в качестве основания для системы логарифмов.
Определение. Логарифм числа х (х > 0) вычисленный по основанию е, называют натуральным логарифмом и обозначают знаком: (без указания основания), т. е. .
Установим связь между натуральным логарифмом числа е и логарифмом этого числа по основанию а (а > 0, а ≠ 1).
Имеем . Прологарифмируем это равенство по основанию а. Получим
( — модуль перехода). В частности, если а = 10, то будем иметь
, где .
Такова связь между десятичными и натуральными логарифмами.
Известно, что если , то — показательная функция. На рис. 3.2 показаны графики этой функции при различных значениях ( и ). Если , то получим показательную функцию — экспоненту.
|
Рис. 3.2. Показательная функция |
1. Гиперболический синус . Так называют функцию вида (рис. 3.3)
.
|
Рис. 3.3. Функции и |
2. Гиперболический синус . Так называют функцию вида (рис. 3.3)
.
Область существования: ; область изменения: .
3. Гиперболический тангенс . Так называют функцию вида (рис. 3.4)
.
Область существования: ; область изменения: .
4. Гиперболический котангенс . Так называют функцию вида (рис. 3.4)
|
Рис. 3.4. Функции и |
Область существования:
;
область изменения: .
Эти функции проявляют замечательную аналогию с тригонометрическими функциями. Так, имеют место формулы (обратите внимание на знаки!)
,
,
из которых при , в частности, следует
,
.