§ 17. Степенно-показательные выражения

Это выражения вида

(*)

Здесь и — функции от , определенные на множестве . Предполагаем, что для всех из множества : . Пусть требуется найти предел выражения при . Считаем, что точка обладает тем свойством, что в любой -окрестности точки имеются точки множества , отличные от . Представим выражение (*) в виде

.

Пусть существуют конечные пределы: и , причем (значит, существует конечный предел ; здесь использована непрерывность логарифмической функции). Следовательно,

.

А тогда, в силу непрерывности показательной функции, получаем

.

Заметим, что предел выражения при можно установить не только в случае, рассмотренном выше, но и во всех случаях, когда удается найти конечный или бесконечный предел с произведения , когда оно представляет неопределенность вида при :

1. если с — конечное число, то ;

2. если , то ;

3. если , то .

Случаи, когда произведение представляет при неопределенность вида , отвечают следующим комбинациям:

1. , ;

2. , ;

3. , .

В этих случаях говорят, что выражение при представляет соответственно неопределенности вида: , , .

Для решения вопроса о пределе выражения при здесь мало знать лишь пределы функций и при , а нужно непосредственно учитывать законы, по которым они стремятся к своим пределам при .

Приведем несколько примеров для раскрытия этих новых видов неопределенностей.

Пример 1. Найти

►Имеем . Станем искать

.

.

Ответ: . ◄

Пример 2. Найти

►Имеем . Станем искать

.

Положим , если . Тогда

.

§ 18. Теоремы Вейерштрасса

Первая теорема Вейерштрасса (об ограниченности функции). Если функция определена и непрерывна в замкнутом промежутке , то она ограничена, т.е. существуют числа и такие, что для .

► Предположим противное, а именно, допустим, что не является ограниченной в промежутке . Но тогда не может оказаться, чтобы для всех было бы: . Поэтому в промежутке обязательно найдется хотя бы одно такое, что будет:

.

Точно также не может оказаться, чтобы для всех было бы . Поэтому в промежутке обязательно найдется хотя бы одно такое, что будет:

.

и т. д.

Продолжая этот процесс, мы придем к последовательности

(1)

такой, что при каждом : и . Но тогда

(2)

У нас последовательность (1) — ограниченная, ибо при любом

(3)

Следовательно, по принципу выбора Больцано-Вейерштрасса, из последовательности (1) можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к конечному пределу. Пусть это будет и пусть . Из неравенства (3) заключаем, что при любом :

.

Переходя здесь к пределу при , получаем , т. е. .

По условию функция непрерывна в . Значит, в частности, непрерывна в точке . А тогда из того, что , следует:

(4)

( — определенное число).

С другой стороны, последовательность является подпоследовательностью для последовательности . Из этого факта и из (2) вытекает, что должно быть

(5)

Сопоставляя соотношения (4) и (5), видим, что получено противоречие. Это противоречие и доказывает теорему. ◄

Замечание. Требование непрерывности функции в замкнутом промежутке существенно. Если функция непрерывна лишь в открытом промежутке или в полуоткрытом промежутке (или ), то нельзя гарантировать ограниченность в этих промежутках.

Рассмотрим, например, функцию . Она непрерывна в промежутке (0,1]. В каждой конкретной точке этого промежутка она принимает конечное значение, но — не ограничена, ибо при приближении х к 0 может принимать сколь угодно большие значения.

Вторая теорема Вейерштрасса (о наибольшем и наименьшем значении). Если функция определена и непрерывна в замкнутом промежутке , то она достигает в этом промежутке как своего наибольшего, так и своего наименьшего значений.

► По первой теореме Вейерштрасса множество значений, которые принимает функция на , является ограниченным. Мы знаем, что для всякого непустого числового множества, ограниченного и сверху, и снизу, существуют точная верхняя и точная нижняя границы.

Пусть ( и — конечные числа). Мы установим, что функция достигает в промежутке , например, своего наибольшего значения, если покажем, что в промежутке имеется хотя бы одна точка такая, что . Рассуждаем от противного. Допустим, что такой точки в промежутке нет. Но тогда при всех х из промежутка будет:

.

Введем в рассмотрение вспомогательную функцию

.

Функция определена и непрерывна в промежутке как отношение двух непрерывных функций с не обращающимся в нуль знаменателем. Отметим еще, что — положительная в .

К функции применима первая теорема Вейерштрасса. Это позволяет утверждать, что существует число такое, что при всех х из будет:

или

, для всех . (6)

Так как неравенство (6) выполняется для всех , то заключаем, что число — есть верхняя граница множества , . А это невозможно, ибо у нас и, следовательно, любое число, меньшее, чем М не является верхней границей множества , . Полученное противоречие доказывает, что на промежутке обязательно имеется хотя бы одна точка , в которой функция принимает свое наибольшее значение.

Совершенно аналогично устанавливается, что функция принимает в промежутке свое наименьшее значение. ◄