- •Глава 3 Предельное значение функции. Непрерывность § 1. Предел функции
- •§ 2. Односторонние пределы функции
- •§ 3. Предел отношения синуса к своей дуге
- •§ 4. Число e
- •§ 5. Предел функции при
- •§ 6. Натуральные логарифмы. Показательная функция . Гиперболические функции
- •§ 7. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •§ 8. Свойства конечных пределов, связанные с арифметическими действиями над функциями
- •§ 9. Сравнение бесконечно малых функций
- •§ 10. Непрерывность функций
- •§ 11. Свойства непрерывных функций
- •2. Арифметические операции над непрерывными функциями.
- •3. Непрерывность сложной функции.
- •§ 12. Непрерывность элементарных функций
- •§ 13. Свойства функций, непрерывных в замкнутом промежутке
- •§ 14. Понятие обратной функции
- •§ 15. Непрерывность элементарных функций (продолжение)
- •§ 16. Три важных предела
- •§ 17. Степенно-показательные выражения
- •§ 18. Теоремы Вейерштрасса
- •§ 19. Понятие равномерной непрерывности функции. Теорема Кантора
- •§ 20. Точки разрыва функций и их классификация
§ 13. Свойства функций, непрерывных в замкнутом промежутке
1. Первая теорема Больцано-Коши (теорема об обращении функции в нуль). Пусть функция определена и непрерывна в замкнутом промежутке . Если значения функции на концах промежутка суть числа разных знаков (т. е. ), то между точками и обязательно найдется хотя бы одна точка такая, что .
На рис. 3.6. дано геометрическое пояснение; оно не является доказательством теоремы.
► Пусть для определенности , . Положим . Если окажется, что , то точка будет искомой.
Пусть же . Тогда один и только один из двух промежутков , будет таким, у которого на левом конце функция принимает отрицательное значение, а на правом — положительное. Обозначим этот промежуток .
Если реализуется случай 1) (см. рис. 3.7), то . Если реализуется случай 2) (см. рис. 3.8), то . Ясно, что и что ; .
Положим, затем . Если окажется, что , то точка будет искомой.
Пусть же . Тогда один и только один из двух промежутков , будет таким, у которого на левом конце функция принимает отрицательное значение, а на правом — положительное. Обозначим этот промежуток . Будем иметь: ; , ; , .
Станем продолжать этот процесс аналогичным образом. Если на каком-нибудь шаге мы получим точку такую, что , то эта точка будет искомой. В противном случае мы получим две бесконечные последовательности
(1)
и
. (2)
такие что при всех :
, , .
Так как , а , то при всех : . Значит последовательность (1) монотонно возрастает (по крайней мере, в широком смысле) и ограничена сверху. Следовательно, у последовательности (1) существует конечный предел. Пусть . У нас при всех . Переходя здесь к пределу при , получим: , т. е. .
Покажем, что последовательность (2) сходится к тому же пределу . В самом деле, имеем
.
Так как , то
.
Итак, показано, что в промежутке существует точка такая, что и . По условию функция непрерывна в промежутке . Значит, в частности, функция будет непрерывна в точке . Но тогда из соотношений , следует и . У нас при всех :
. (3)
Переходя в неравенствах (3) к пределу при , получим
.
Совместное осуществление этих двух неравенств возможно лишь тогда, когда . Было показано, сто точка . Так как по условию и , то заключаем, что , т. е. . ◄
|
Рис. 3.9. К замечанию. |
2. Вторая теорема Больцано-Коши (теорема о промежуточном значении). Пусть функция определена и непрерывна в замкнутом промежутке и на концах этого промежутка принимает не равные значения. (пусть для определенности ). Тогда, какое бы число , лежащее между и ни взять (), между точками и обязательно найдется хотя бы одна точка такая, что будет .
Иначе: непрерывная функция, переходя от одного своего значения к другому, принимает и все промежуточные значения.
► Введем в рассмотрение вспомогательную функцию: . Ясно, что функция определена и непрерывна в замкнутом промежутке . У нас . Поэтому
.
Видим, что функция на концах промежутка принимает значения разных знаков. А тогда, по первой теореме Больцано-Коши, между точками и обязательно найдется хотя бы одна точка такая, что будет , т. е. или . ◄