- •Программа:
- •I. Линейная алгебра
- •II. Линейное программирование
- •III. Дифференциальное и интегральное исчисление.
- •IV. Дифференциальные уравнения и численные методы их решения
- •V. Аналитическая геометрия
- •VI. Функции многих переменных и теория поля.
- •VII. Элементы теории множеств
- •VIII. Теория вероятностей и математическая статистика.
- •Распределение по видам нагрузки
- •Учебный план
- •Приложение 1 Домашние задания Домашнее задание № 1. Определители.
- •Домашнее задание №2 Матрицы и операции над ними
- •Домашнее задание №3. Системы линейных алгебраических уравнений.
- •Домашнее задание №4 Область определения. Частные производные. Производная по направлению. Градиент. Дифференциал.
- •Домашнее задание №5. Производные и экстремумы функций.
- •Домашнее задание №6. Теория множеств.
- •Домашнее задание №7. Математическая логика
- •Домашнее задание №8. Теория вероятности и математическая статистика.
- •Домашнее задание №9. Сетевое планирование и управление.
- •Домашнее задание №9. Линейное программирование
- •Приложение 2
- •Семестр I Лабораторная работа №1. Макрокоманды программы Microsoft Excel 2003.
- •1. Макрокоманда: «Включение компьютера и вход в систему».
- •2. Макрокоманда: «Запуск программы Microsoft Excel».
- •3. Макрокоманда: «Выбор активного листа».
- •4. Макрокоманда: «Занесение целых чисел в ячейку».
- •5. Макрокоманда: «Занесение целых чисел в диапазон ячеек».
- •6. Макрокоманда: «Занесение десятичных дробей в ячейку».
- •7. Макрокоманда: «Занесение десятичных дробей в диапазон ячеек».
- •8. Макрокоманда: «Занесение заголовка в ячейку».
- •9. Макрокоманда: «Активизация диапазона ячеек».
- •10. Макрокоманда «Сортировка данных».
- •11. Макрокоманда: «Активизация несвязанного диапазона ячеек».
- •12. Макрокоманда: «Форматирование ширины столбца».
- •13. Макрокоманда: «Форматирование высоты строки».
- •14. Макрокоманда: «Специальная вставка – транспонирование».
- •15. Макрокоманда: «Выбор языка клавиатуры».
- •16. Макрокоманда: «Объединение ячеек».
- •17. Макрокоманда: «Добавление нового листа в рабочую книгу Excel».
- •18. Макрокоманда «Вставка символа».
- •19. Макрокоманда: «Заполнение арифметической прогрессии».
- •20. Макрокоманда: «Закрытие программы Microsoft Excel».
- •21. Макрокоманда «Создание индекса».
- •22. Макрокоманда «Выделение границ ячейки».
- •23. Макрокоманда «Центрирование данных в ячейке».
- •24. Макрокоманда: «Копирование в буфер обмена».
- •25. Макрокоманда: «Построение диаграммы».
- •26. Макрокоманда: «Занесение формул в ячейку».
- •27. Макрокоманда: «Автозаполнение - нумерация».
- •28. Макрокоманда: «Автозаполнение - формула».
- •Лабораторная работа №2. Определители 3-го порядка и их вычисление.
- •Лабораторная работа №3. Вычисление определителей 4-го порядка разложением по элементам любой строки.
- •Лабораторная работа №4. Вычисление определителей 4-го порядка разложением по элементам любого столбца.
- •Лабораторная работа №5 . Словесные алгоритмы линейной алгебры и их реализация в программе Excel.
- •Посчитайте определители следующих матриц:
- •Лабораторная работа №6. Вычисление ранга матрицы.
- •Задания для самостоятельной работы. Н айдите ранги следующих матриц: Лабораторная работа №7. Умножение матриц.
- •Это полезно знать!
- •Задания для самостоятельной работы.
- •Лабораторная работа №8. Вычисление обратной матрицы.
- •Задания для самостоятельной работы.
- •Лабораторная работа №9. Решение систем линейных уравнений по формуле Крамера.
- •Задания для самостоятельной работы.
- •Лабораторная работа № 10. Решение систем линейных уравнений в матричном виде.
- •Задания для самостоятельной работы.
- •Лабораторная работа № 11. Решение систем линейных уравнений с четырьмя неизвестными методом Гаусса.
- •Задания для самостоятельной работы.
- •Лабораторная работа № 12. Нахождение собственных значений линейного оператора.
- •Задания для самостоятельной работы.
- •Лабораторная работа № 13. Логические задачи в алгебре Буля.
- •Задания для самостоятельной работы.
- •Лабораторная работа № 14. Логические задачи в алгебре Жегалкина.
- •Если записать уравнение в виде
- •Уточнение корня методом проб.
- •Получим таблицу (рис. 15.3)
- •Уточнение корня методом половинного деления.
- •Задания для самостоятельной работы.
- •Лабораторная работа № 16. Задачи линейного программирования.
- •Задания для самостоятельной работы.
- •Семестр II Лабораторная работа № 2. Изучение числовых последовательностей
- •Задания
- •Лабораторная работа № 6. Численное дифференцирование степенной функции
- •Лабораторная работа №10. Приближенное вычисление определенных интегралов. Формула Симпсона.
- •Лабораторная работа№16. Закон устойчивости частот
- •Лабораторная работа №17. Анализ экономико-исторических явлений статистическими моделями
- •Задание
- •Список литературы
- •Дополнительная литература
Лабораторная работа №10. Приближенное вычисление определенных интегралов. Формула Симпсона.
Применение этой формулы требует почти такой же затраты труда, как и применение формулы трапеций, а приводит обычно к более точным результатам (при одном и том же разбиении интервала).
Разобьем интервал на n равных частей и предположим, что n четное число. Заменим дугу линии , отвечающую интервалу , дугой параболы, ось которой параллельна оси ординат и которая проходит через три точки: , и . Можно доказать, что это всегда можно сделать и притом единственным способом. Аналитически это означает, что в интервале данная функция заменяется квадратичной функцией . Произведя подобные замены и в интервалах , мы тем самым заменим площадь данной криволинейной трапеции суммой площадей получающихся параболических трапеций.
Найдем площадь первой из параболических трапеций
().
Имеем . После преобразования полученного выражения приходим к следующей формуле: . Аналогично выразятся площади , и последующих параболических трапеций: , и т.д. Складывая почленно все эти равенства, получим выражение, дающее приближенное значение искомого интеграла:
Это и есть формула Симпсона (см. рис. 1).
Рис. 1. Иллюстрация формулы Симпсона
Для остаточного члена формулы Симпсона справедливо неравенство
, (1)
где .
Как выбирать шаг h, чтобы подсчитать интеграл с заданной степенью точности ? Если подсчет величины не сопряжен с громоздкими вычислениями, то в соответствии с формулой (1), h следует выбирать таким, чтобы выполнялось неравенство
. (2)
К сожалению, в большинстве случаев подсчитать очень трудно, и тогда вместо неравенства (2) обычно берут грубое неравенство . При этом у нас нет уверенности в выполнении неравенства (2), а потому для оценки погрешности пользуются специально разработанными методами. Одним из этих методов является метод, предложенный немецким физиком и математиком К. Рунге (1856–1927 гг.). Этот метод состоит в следующем.
1) Выбираем h с таким расчетом, чтобы выполнялось неравенство , и чтобы при этом интервал интегрирования оказался разбитым на число частей, кратное 4 (а не просто на четное число частей).
2) Вычисляем интеграл по формуле Симпсона с выбранным шагом h. Полученное приближенное значение интеграла обозначим .
3) Еще раз вычисляем наш интеграл по формуле Симпсона с удвоенным шагом 2h (получаем при этом приближенное значение ). Тогда абсолютная погрешность результата приближенно равна .
Замечание. Если окажется, что (где – заданная точность), придется провести расчет заново, взяв меньший шаг h (обычно в таком случае берут шаг ).
Пример. Вычислить интеграл по формуле Симпсона с точностью = 0,005.
-
Осуществите запуск программы Excel, нажав на кнопку ПУСК на панели задач
-
Создание таблицы.
Для создания таблицы удобно использовать уже готовую таблицу, используемую в предыдущей работе.
а) Сделайте еще одну копию Листа1.
б) На новом листе вставьте новые столбцы там, где это необходимо.
Для этого выделите столбец G и выполните два раза команду ВСТАВКА-СТОЛБЦЫ.
в) Измените заголовок таблицы, так что бы он имел вид как на рисунке.
-
Возьмем в качестве шага . При этом .
В ячейки А2, A3, А4 запишите значения, соответствующие отрезку интегрирования [3;5] и величине шага 0,25: 3;5, 0,25.
В ячейке А5 рассчитайте число отрезков разбиения n по формуле , т.е. запишите формулу Excel: =(А3-А2)/А4. В результате отрезок интегрирования окажется разбитым на 8 частей.
-
В столбец В введем значения .
Для этого в ячейку В2 введем 0; в ячейку B3 введем 1; выделим ячейки B2 и B1 и протянем их до ячейки В10 с помощью маркера заполнения.
-
Вычисление значений аргумента.
В ячейку С2 запишите формулу Excel: =A2 и нажмите Enter. В ячейке С2 появится значение нижнего предела интегрирования. В дальнейшем, при изменении числового значения в ячейке А2, будет изменяться число и в ячейке С2.
В ячейку СЗ запишите значение следующей точки разбиения по формуле Excel: =С2+А4 и закрепите в ней адрес шага h - ячейку А4. Для этого дважды щелкните мышью в строке формул на адресе А4, чтобы выделить его, и нажмите клавишу F4. После этого адрес ячейки А4 станет абсолютным, на что указывает символ $ перед буквой столбца и номером строки адреса.
Формула примет вид =C2+$А$4
В дальнейшем, при переносе формулы адрес А4, в отличие от адреса C2, меняться не будет. Перенесите формулу ячейки С3 вниз до десятой строки с помощью маркера заполнения. После выполнения этого действия столбец С таблицы будет заполнен значениями точек разбиения отрезка [3;5].
-
Вычисление значений функции.
В ячейке D2 запишите формулу Excel: =КОРЕНЬ(6+C2^4), по которой рассчитывается значение функции в точке C2.
Для этого выделите ячейку D2 и, нажав ƒх на панели инструментов, выполните команду ВСТАВКА ФУНКЦИИ. Выберите категорию функций математические, далее функцию КОРЕНЬ, в строке «число» наберите 6+C2^4.
Перенесите эту формулу ячейки D2 вниз до десятой строки с помощью маркера заполнения. После выполнения этого шага в столбце D таблицы окажутся значения функции во всех точках разбиения.
-
Перенесем, полученные в столбце D значения, в ячейки столбцов E и F. Для этого необходимо скопировать значения в ячейках столбца D, сделать активной ячейку E1, выполнить команду меню Правка-Специальная вставка, в диалоговом окне выбрать пункт Значения.
Далее в столбце D оставим только значения в ячейках D2 и D10 ;
в столбце E – значения в ячейках E3, E5, E7, E9 ; в столбце F – значения в ячейках F4, F6, F8 .
-
В ячейках D12, E12, F12 подсчитаем сумму значений, расположенных в соответствующих столбцах. Для этого воспользуемся функцией СУММ (которая находится в мастере функций ƒх) или кнопкой автосуммы на панели инструментов.
-
Вычисление приближенного значения интеграла.
В ячейке G2 вычислите приближенное значение интеграла по формуле
, т.е. запишите формулу Excel: =A4/3*(D12+4*E12+2*E12) .
После выполнения этого шага в ячейке G2 появится результат приближенного вычисления интеграла c шагом h = 0,25.
-
Вычислим интеграл по формуле Симпсона еще раз, беря удвоенный шаг 2h =2∙0,25 = 0,5. При этом будем использовать данные столбцов D, E, F.
Поскольку мы увеличили шаг в 2 раза, то число отрезков разбиения уменьшилось в 2 раза и теперь .
В ячейке H2 запишите
формулу Excel: =A4*2/3*(D12+4*(F4+F8)+2*F6).
После выполнения этого шага в ячейке H2 появится результат приближенного вычисления интеграла c шагом h = 0,5.
-
Оценка погрешности вычисления.
По правилу Рунге, абсолютная погрешность результата приближенно равна .
Выделите ячейку I2 и запишите формулу Excel: =ABS(H2-G2)/15.
Для этого воспользуемся функцией ABS (которая находится в мастере функций ƒх).
Абсолютная погрешность результата приближенно равна . Замечание. Если бы оказалось 0,005, пришлось бы заново провести расчет с шагом .
В результате выполненных шагов получится таблица:
Задание. Вычислить приближенно, пользуясь формулой Симпсона, определенный интеграл , разбивая отрезок интегрирования на 12 равных частей. Затем вычислить интеграл, разбив отрезок интегрирования на 6 частей.
Определить погрешность метода по формуле .