- •Программа:
- •I. Линейная алгебра
- •II. Линейное программирование
- •III. Дифференциальное и интегральное исчисление.
- •IV. Дифференциальные уравнения и численные методы их решения
- •V. Аналитическая геометрия
- •VI. Функции многих переменных и теория поля.
- •VII. Элементы теории множеств
- •VIII. Теория вероятностей и математическая статистика.
- •Распределение по видам нагрузки
- •Учебный план
- •Приложение 1 Домашние задания Домашнее задание № 1. Определители.
- •Домашнее задание №2 Матрицы и операции над ними
- •Домашнее задание №3. Системы линейных алгебраических уравнений.
- •Домашнее задание №4 Область определения. Частные производные. Производная по направлению. Градиент. Дифференциал.
- •Домашнее задание №5. Производные и экстремумы функций.
- •Домашнее задание №6. Теория множеств.
- •Домашнее задание №7. Математическая логика
- •Домашнее задание №8. Теория вероятности и математическая статистика.
- •Домашнее задание №9. Сетевое планирование и управление.
- •Домашнее задание №9. Линейное программирование
- •Приложение 2
- •Семестр I Лабораторная работа №1. Макрокоманды программы Microsoft Excel 2003.
- •1. Макрокоманда: «Включение компьютера и вход в систему».
- •2. Макрокоманда: «Запуск программы Microsoft Excel».
- •3. Макрокоманда: «Выбор активного листа».
- •4. Макрокоманда: «Занесение целых чисел в ячейку».
- •5. Макрокоманда: «Занесение целых чисел в диапазон ячеек».
- •6. Макрокоманда: «Занесение десятичных дробей в ячейку».
- •7. Макрокоманда: «Занесение десятичных дробей в диапазон ячеек».
- •8. Макрокоманда: «Занесение заголовка в ячейку».
- •9. Макрокоманда: «Активизация диапазона ячеек».
- •10. Макрокоманда «Сортировка данных».
- •11. Макрокоманда: «Активизация несвязанного диапазона ячеек».
- •12. Макрокоманда: «Форматирование ширины столбца».
- •13. Макрокоманда: «Форматирование высоты строки».
- •14. Макрокоманда: «Специальная вставка – транспонирование».
- •15. Макрокоманда: «Выбор языка клавиатуры».
- •16. Макрокоманда: «Объединение ячеек».
- •17. Макрокоманда: «Добавление нового листа в рабочую книгу Excel».
- •18. Макрокоманда «Вставка символа».
- •19. Макрокоманда: «Заполнение арифметической прогрессии».
- •20. Макрокоманда: «Закрытие программы Microsoft Excel».
- •21. Макрокоманда «Создание индекса».
- •22. Макрокоманда «Выделение границ ячейки».
- •23. Макрокоманда «Центрирование данных в ячейке».
- •24. Макрокоманда: «Копирование в буфер обмена».
- •25. Макрокоманда: «Построение диаграммы».
- •26. Макрокоманда: «Занесение формул в ячейку».
- •27. Макрокоманда: «Автозаполнение - нумерация».
- •28. Макрокоманда: «Автозаполнение - формула».
- •Лабораторная работа №2. Определители 3-го порядка и их вычисление.
- •Лабораторная работа №3. Вычисление определителей 4-го порядка разложением по элементам любой строки.
- •Лабораторная работа №4. Вычисление определителей 4-го порядка разложением по элементам любого столбца.
- •Лабораторная работа №5 . Словесные алгоритмы линейной алгебры и их реализация в программе Excel.
- •Посчитайте определители следующих матриц:
- •Лабораторная работа №6. Вычисление ранга матрицы.
- •Задания для самостоятельной работы. Н айдите ранги следующих матриц: Лабораторная работа №7. Умножение матриц.
- •Это полезно знать!
- •Задания для самостоятельной работы.
- •Лабораторная работа №8. Вычисление обратной матрицы.
- •Задания для самостоятельной работы.
- •Лабораторная работа №9. Решение систем линейных уравнений по формуле Крамера.
- •Задания для самостоятельной работы.
- •Лабораторная работа № 10. Решение систем линейных уравнений в матричном виде.
- •Задания для самостоятельной работы.
- •Лабораторная работа № 11. Решение систем линейных уравнений с четырьмя неизвестными методом Гаусса.
- •Задания для самостоятельной работы.
- •Лабораторная работа № 12. Нахождение собственных значений линейного оператора.
- •Задания для самостоятельной работы.
- •Лабораторная работа № 13. Логические задачи в алгебре Буля.
- •Задания для самостоятельной работы.
- •Лабораторная работа № 14. Логические задачи в алгебре Жегалкина.
- •Если записать уравнение в виде
- •Уточнение корня методом проб.
- •Получим таблицу (рис. 15.3)
- •Уточнение корня методом половинного деления.
- •Задания для самостоятельной работы.
- •Лабораторная работа № 16. Задачи линейного программирования.
- •Задания для самостоятельной работы.
- •Семестр II Лабораторная работа № 2. Изучение числовых последовательностей
- •Задания
- •Лабораторная работа № 6. Численное дифференцирование степенной функции
- •Лабораторная работа №10. Приближенное вычисление определенных интегралов. Формула Симпсона.
- •Лабораторная работа№16. Закон устойчивости частот
- •Лабораторная работа №17. Анализ экономико-исторических явлений статистическими моделями
- •Задание
- •Список литературы
- •Дополнительная литература
Задания для самостоятельной работы.
Задача №1. Для участия в командных соревнованиях по лёгкой атлетике спортклуб должен выставить команду, состоящую из спортсменов I и II разрядов. Соревнования проводятся по бегу, прыжкам в высоту и прыжкам в длину. В беге должны участвовать 5 спортсменов, в прыжках в длину – 8 спортсменов, в прыжках в высоту – не более 10. Количество очков, гарантируемое спортсмену каждого разряда по каждому виду, указано в таблице:
Разряд |
Бег |
Прыжки в высоту |
Прыжки в длину |
I |
4 |
5 |
5 |
II |
2 |
3 |
3 |
Распределить спортсменов команды так, чтобы сумма очков команды была наибольшей, если известно, что в команде I разряд имеют только 10 спортсменов.
Задача №2. Три завода производят одно и то же изделие, которое отправляется четырем потребителям. Известно, что I завод поставляет 90 вагонов изделий, II – 30 вагонов, III
– 40 вагонов. Для потребителей требуется: первому – 70 вагонов, второму – 30, третьему – 20 и четвёртому – 40. Стоимость (в руб.) перевозки одного вагона между каждым поставщиком и потребителем указаны в следующей таблице:
Потребители Поставщики |
1 |
2 |
3 |
4 |
I |
18 |
20 |
14 |
10 |
II |
10 |
20 |
40 |
30 |
III |
16 |
22 |
10 |
20 |
Определить минимальный по стоимости план перевозок.
Задача №3. Груз, хранящийся на складах, в каждом соответственно 60, 80 и 106 машин, требуется перевезти в четыре магазина. В первый магазин требуется 44 машины, во второй – 70, в третий – 50, в четвёртый – 82. Стоимость прогона одной машины за 1 км составляет 10 коп. расстояния между складами и магазинами указаны в таблице:
Магазины Склады |
1 |
2 |
3 |
4 |
1 |
13 |
17 |
6 |
8 |
2 |
2 |
7 |
10 |
41 |
3 |
12 |
18 |
2 |
22 |
Составить оптимальный по стоимости план перевозки груза из складов в магазины.
Семестр II Лабораторная работа № 2. Изучение числовых последовательностей
Для выполнения данной лабораторной работы необходимо знать определение последовательности, предела последовательности, возрастающей и убывающей последовательности, поэтому напомним некоторые понятия теории последовательностей.
Если каждому числу п натурального ряда чисел 1, 2,..., n,... ставится в соответствие по определенному закону некоторое действительное число , то множество занумерованных действительных чисел
называется числовой последовательностью или просто последовательностью.
Числа -х„ называются элементами или членами последовательности (1). Сокращенно последовательность (1) обозначается символом {хn} (или (xn)).
Наиболее распространенные способы задания последовательностей аналитический и рекуррентный.
Аналитический - это способ задания с помощью формулы п-го («общего») члена an=f(n).
Рекуррентный, когда любой член последовательности, начиная с некоторого, выражается через предшествующие (один или несколько). При этом способе задания указывается первый член последовательности (или несколько первых членов) и формула, позволяющая определить любой член последовательности по известным предшествующим членам.
Последовательность (аn) называется убывающей (невозрастающей), еслидля любого п, и возрастающей (неубывающей), если .
Число а называется пределом последовательности (аn), если для любого положительного числа существует номер N, такой что при всех п>N выполняется неравенство.
То же определение коротко можно сформулировать так:
Число а есть предел последовательности (аn), если ее значения отличаются от а сколь угодно мало, начиная с некоторого места.
Последовательность, имеющую предел , называют сходящейся, в противном случае расходящейся.
Постановка задачи. С помощью табличного процессора MS Excel 2000 найти двадцать первых членов последовательностей, если известно, что
Выяснить вопрос о возрастании (убывании) и пределе последовательностей.
Для решения поставленной задачи придется несколько раз выполнять одни и те же операции для разных последовательностей. Поэтому целесообразно создать макросы для облегчения работы. Макрос - набор инструкций, указывающих последовательность действий, которые должен выполнить Microsoft Excel. Макрос - это, по сути дела, программа, предназначенная для решения некоторой специфической задачи и выполняющейся только внутри Excel.
Ход работы:
1. Включите компьютер.
2. Щелкните на кнопке на панели задач Windows.
3. Выберите команду Программы → Microsoft Excel. Программа Excel откроет новый документ (рабочую книгу).
4 . Создайте файл, в котором будут храниться результаты вашей работы. Для этого нужно выбрать команду Файл → Сохранить как (рис. 1). В открывшемся диалоговом окне Имя файла выделенное имя Книга1 удалить нажатием клавиши
Рис. 1
Delete, после чего набрать с клавиатуры необходимое имя (например, Последовательности_1), а в строке Папка выбрать двойным щелчком имя нужной папки (например, Воробьев). Щелкнуть на кнопке "Сохранить" в окне диалога
5. Чтобы избежать потери данных регулярно сохраняйте рабочий материал с помощью команды Файл → Сохранить или щелчка мышью на кнопке Сохранить на стандартной панели инструментов.
6. На открывшемся Листе1 запишите общий член последовательности (1), вычислите 20 первых членов последовательности (1) и разности между членами последовательности и предыдущими членами. Для этого выполните следующие действия:
1) начните запись Макроса1, который будет создан для заполнения соответствующих ячеек текстовой информации и номерами членов последовательностей, с этой целью:
а) выполните команду Сервис → Макрос → Начать запись (рис. 2);
Р ис. 2
b) в открывшемся диалоговом окне Запись макроса в поле Имя макроса появится заданное по умолчанию название Макрос1 (рис. 3);
Рис. 3
c) чтобы сохранить Макрос1 в активной книге, убедитесь, что в поле Сохранить в выводится Эта книга;
d) щелкните на кнопке ОК. В рабочем окне Excel появится панель инструментов Остановка записи ;
e) чтобы панель не мешала вашим дальнейшим действиям, перенесите ее вправо, ухватившись за рамку, расположенную в верхней части панели;
2) осуществите запись Макроса1 (рис. 4):
Р ис. 4
а ) в ячейку А1 введите текст "аn=", для этого текст "аn=" наберите на латинском языке. На латинский язык с русского, и наоборот, можно переключиться с помощью нажатия клавиш Shift + Ctrl. Затем выделите с помощью мыши букву n (это можно сделать как в активной ячейке, так и в строке формул, расположенной в верхней части экрана) и выполните команду Формат → Ячейки. В диалоговом окне Формат ячеек установите флажок Нижний индекс (рис. 5). Щелкните на кнопке ОК.
Рис. 5
Нижний индекс будет отображен только в активной ячейке, но не в строке формул. Нажмите Enter;
b) выделите диапазон ячеек А1:С1 и объедините его с помощью кнопки (объединить и поместить в центре) на панели инструментов форматирования. Затем щелкните на кнопке (жирный текст) и кнопке (курсив). В строке формул текст отображается не отредактированным;
c) выделите ячейки A3, А4 и объедините их (кнопка ), затем введите n и нажмите Alt + Enter, чтобы поднять текст внутри ячеек. Для активизации ячейки в соседнем столбце справа от A3, нажмите вместо Enter клавишу Tab;
d) измените ширину и высоту ячейки ВЗ. Для этого выберите команду Формат → Строка → Высота (рис. 6). В диалоговом окне Высота строки
Р ис. 6
замените 12,75 на 27 и щелкните на кнопке ОК. Для этого нажмите, а затем с клавиатуры наберите 27 (рис. 7).
Р ис. 7.
Далее выберите команду Формат → Столбец → Ширина. В диалоговом окне Ширина столбца 8,4 замените на 12, как было сказано в этом пункте выше;
e) введите в ячейку ВЗ текст "Член an", an введите также как и в п°а). При выделении n, пусть вас не смущает, то, что выделяется все оставшееся поле ячейки после n. В строке формул поместите курсор после символа n. Нажмите левый Alt + Enter, чтобы поднять текст внутри ячейки, а затем Enter;
f) выделите ячейки ВЗ, В4 и объедините их (кнопка );
g) измените ширину ячейки СЗ на 12 (как было описано в пункте 6.2.d);
h) введите в ячейку СЗ текст "Разность (an-an-1)". После ввода слова "Разность" нажмите левый Alt + Enter, чтобы текст перешел на другую строчку внутри ячейки;
i) выделите ячейки СЗ, С4 и объедините их (кнопка );
j) выделите диапазон ячеек АЗ:С4 с помощью мыши, щелкните последовательно на кнопках (жирный текст) и (курсив), расположенных на панели редактирования;
k) в ячейку А5 введите 1;
l) в ячейку А6 введите 2;
m) выделите ячейки А5 и А6 и протяните их до ячейки, схватившись за маркер автозаполнения, расположенный в нижнем правом углу выделенного диапазона (значок +). Столбец окажется заполненным первыми двадцатью числами натурального ряда;
n) активизируйте ячейку А1;
o) щелкните на кнопке (остановить запись) на панели Остановка записи;
3) в ячейку А1 введите дополнительно (3n3-n+1)/(2n3+n). (см. рис.2). С этой целью введите с клавиатуры (3n3-n+l)/(2n3+n). Выделите 3, которая должна стать степенью, затем выполните команду Формат → Ячейки, в диалоговом окне Формат ячеек установите флажок Верхний индекс. Аналогично вводятся и остальные степени. Нажмите Enter;
4) в ячейку В5 введите формулу первого члена ряда =(3*A5^3-A5+1)/(2*A5^3+A5)(рис. 8). Нажмите Enter. В ячейке В5 отобразится е сама введенная формула, а вычисленное по ней значение. Тем не менее, на самом деле в ячейке содержится формула, которая и отображается в строке формул;
Р ис. 8.
5) выделите ячейку В5 и с помощью автозаполнения заполните ячейки В6:В24. Благодаря относительным ссылкам на ячейки в ячейку В6 запишется формула =(3*A6^3-A6+l)/(2*A6^3+A6), в ячейку В7 формула: =(3*A7^3-A7+1)/(2*A7^3+A7) и т.д. Адреса ячеек в формуле можно вводить или с клавиатуры или с помощью "щелчка" мышью на требуемой ячейке;
6) на основании полученных данных столбца В сделайте вывод о существовании предела последовательности (1). Введите в ячейку D1 слово "сходится", если последовательность имеет конечный предел, и "расходится" в противном случае. Объедините ячейки , как было показано в п°2.b);
7) в ячейку С6 введите формулу =В6-В5;
8 ) выделите ячейку С6 и с помощью автозаполнения заполните ячейки С7:С24 (Рис. 9.);
Рис. 9.
9) на основании полученных данных столбца сделайте вывод о возрастании (убывании) последовательности (1). Введите в ячейку Е1 необходимую информацию: возрастающая, убывающая или не возрастающая и не убывающая (рис. 9);
10) чтобы подтвердить вывод, сделанный в пункте 6, нужно выяснить поведение последовательности при достаточно больших п. Для этого произведите следующие действия:
а ) выделите диапазон ячеек С6:С24 и выберите команду Формат → Столбец → Скрыть (рис. 10, результат - рис. 11);
Рис. 10.
Р ис. 11.
b) выделите строки 6:23 и выберите команду Формат → Строка → Скрыть (рис. 12);
c) в ячейку А25 введите =А24*5;
d
неРис.1.11.
Рис. 12.
е) активизируйте ячейку В24 и, "зацепив" маркер автозаполнения, протяните его до ячейки В40 (рис. 13);
f) в ячейку А41 введите “lim аn=...”, вместо точек введите соответствующее значение в случае существования такового. Выделите ячейки А41 и В41 и объедините их с помощью кнопки (объединить и поместить в центре), расположенной на панели инструментов форматирования. Затем щелкните на кнопке (жирный текст) и кнопке (курсив) (рис. 14);
7. Построим точечную функцию зависимости , . Для этого необходимо:
а) выделить ячейки А5:В24 и выберите команду Формат → Строка → Отобразить.
b) На стандартной панели инструментов нажмите на кнопку Мастер Диаграмм . В поле Тип выберите Точечная, а в поле Вид выберите второе изображение - шаг 1 из 4 (Рис. 15.) Нажмите Далее.
c) Выберите диапазон А5:В24 (шаг 2 из 4). Нажмите два раза Далее. На шаге 4 выберите Поместить диаграмму на листе: отдельном. Нажмите Готово.
d) Щёлкните по оси Y значений и в появившемся контекстном меню выберите Формат оси.
e) На вкладке Шкала в поле минимальное значение укажите 1 (Рис. 16). Нажмите ОК.
Р ис. 16.
Анализируя график, можно отметить, что кривая f(n) бесконечно приближается к значению по оси Y в 1,5.