Лабораторная работа №9. Решение систем линейных уравнений по формуле Крамера.

Пусть дана система n-линейных уравнений с n-неизвестными х₁, х₂,..., х _n:

а₁₁х₁+а₁₂х₂+...+а_1nх_n=b₁,

а

(1)

₂₁х₁+а₂₂х₂+...+а_2nх_n=b₂,

... .... .... ... .... ... ... ... ....

а_n1х₁+а_n2х₂+...+а_nnх_n=b_n.

Матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных, и её определитель называются соответственно матрицей системы (1) и определителем этой системы.

Пусть А_ij (i, j =1, 2,...,n)– алгебраические дополнения элементов определителя . Преобразуем систему (1) так, чтобы каждое из её уравнений содержало только одно неизвестное. Для этого умножим первое уравнение системы на А₁₁, второе – на А₂₁,..., n-е – на А_n1 и сложим их; затем умножим уравнения системы соответственно на А₂₁, А₂₂, ..., А_n2 и сложим их, и т.д., наконец, умножим уравнения системы соответственно на А_n1, А_n2, ..., А_nn и опять сложим. Получим новую систему уравнений:



(2)

х₁= b₁А₁₁+ b₂ А₂₁+...+ b_n А_n1,

х₂= b₁А₁₂+ b₂ А₂₂+...+ b_n А_n2,

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...,

х_n= b₁А_1n+ b₂ А_2n+...+ b_n А_nn.

Правые части уравнения системы (2) обозначим соответственно символами 1, 2, ..., n, где

Тогда система уравнений (2)примет вид:



(4)

х₁=₁,

х₂=_2,

... ... ... ...,

х_n=_n.

Если , то из этих уравнений находим

Полученные формулы называются формулами Крамера; они дают решение системы (2), полученной из системы (1).

Формулы Крамера (5) являются единственным решением системы (1), поскольку система (2) выведена из системы (1). Таким образом, следует

Теорема: если определитель системы (1) отличен от нуля, то система имеет единственное решение, получаемое по формулам Крамера.

Правило Крамера. Система n уравнений с n переменными, определитель которой отличен от нуля, всегда имеет решение и притом единственное, определяемое следующим правилом: значение каждого из переменных равно дроби, знаменателем которой является определитель системы, а числитель получается из определителя системы заменой столбца коэффициентов при искомом переменном столбцом свободных членов.

Решим следующую систему уравнений с 4-мя неизвестными:

2х₁+5х₂+4х₃+х₄=20,

х₁+3х₂+2х₃+х₄=11,

2х₁+10х₂+9х₃+7х₄=40,

3х₁+8х₂+9х₃+2х₄=37.

Определитель матрицы, составленный из коэффициентов при неизвестных данной системы = -3, отличен от нуля, поэтому к системе применимо правило Крамера. Используя редактор формул, запишем определители ₁, ₂, ₃ и ₄, используя формулу (3).

Для этого:

1. Включите компьютер.

2. После того, как на экране монитора появится рабочий стол операционной системы Windows, откройте окно Microsoft Word.

3. Вставьте объект Microsoft Equation 3.0.

4. Запишем определитель ₁ в формульный редактор. Для этого:

• з

  Рис. 9.1

  апишите ₁, используя шаблон нижних индексов;

• вставьте шаблон определителя 4-го порядка в формульном редакторе;

• занесите числовые значения определителя в свободные поля;

Повтором предыдущих действий, запишите в редакторе формул определители ₂₄ (см. рис. 9.1)

В качестве вычислительного средства воспользуемся инструментами программы Excel– 97.

5. Откройте окно Microsoft Excel.

6. Перепишите определители , ₁, ₂, ₃ и ₄, из Word в Excel(см. рис. 9.2).

Рис. 9.2 Рис. 9.3

7. Используя функцию МОПРЕД, которая находится в мастере функций ƒ_х на стандартной панели, найдите, чему будут равны все пять определителей (см. рис. 9.3)

Получаем, что = -3, 1= -3, 2= -6, 3= -6 и 4= -1,11Е-14. Так как результат вычислений определителя 4 записан в виде числа с мантиссой, следовательно, поменяем формат ячейки Е25 на ДРОБНЫЙ, после чего определитель 4 станет равным нулю.

8. Найдём неизвестные х₁, х₂, х₃, х₄. Для этого:

• активизируйте ячейку G10 и запишите в не формулу: , после чего нажмите на клавишу Enter. В результате получим х₁=1;

• активизируйте ячейку G15 и запишите в не формулу: , после чего нажмите на клавишу Enter. В результате получим х₂=2;

• активизируйте ячейку G20 и запишите в не формулу: , после чего нажмите на клавишу Enter. В результате получим х₃=2;

• активизируйте ячейку G25 и запишите в не формулу: , после чего нажмите на клавишу Enter. В результате получим х₄=0.