- •Программа:
- •I. Линейная алгебра
- •II. Линейное программирование
- •III. Дифференциальное и интегральное исчисление.
- •IV. Дифференциальные уравнения и численные методы их решения
- •V. Аналитическая геометрия
- •VI. Функции многих переменных и теория поля.
- •VII. Элементы теории множеств
- •VIII. Теория вероятностей и математическая статистика.
- •Распределение по видам нагрузки
- •Учебный план
- •Приложение 1 Домашние задания Домашнее задание № 1. Определители.
- •Домашнее задание №2 Матрицы и операции над ними
- •Домашнее задание №3. Системы линейных алгебраических уравнений.
- •Домашнее задание №4 Область определения. Частные производные. Производная по направлению. Градиент. Дифференциал.
- •Домашнее задание №5. Производные и экстремумы функций.
- •Домашнее задание №6. Теория множеств.
- •Домашнее задание №7. Математическая логика
- •Домашнее задание №8. Теория вероятности и математическая статистика.
- •Домашнее задание №9. Сетевое планирование и управление.
- •Домашнее задание №9. Линейное программирование
- •Приложение 2
- •Семестр I Лабораторная работа №1. Макрокоманды программы Microsoft Excel 2003.
- •1. Макрокоманда: «Включение компьютера и вход в систему».
- •2. Макрокоманда: «Запуск программы Microsoft Excel».
- •3. Макрокоманда: «Выбор активного листа».
- •4. Макрокоманда: «Занесение целых чисел в ячейку».
- •5. Макрокоманда: «Занесение целых чисел в диапазон ячеек».
- •6. Макрокоманда: «Занесение десятичных дробей в ячейку».
- •7. Макрокоманда: «Занесение десятичных дробей в диапазон ячеек».
- •8. Макрокоманда: «Занесение заголовка в ячейку».
- •9. Макрокоманда: «Активизация диапазона ячеек».
- •10. Макрокоманда «Сортировка данных».
- •11. Макрокоманда: «Активизация несвязанного диапазона ячеек».
- •12. Макрокоманда: «Форматирование ширины столбца».
- •13. Макрокоманда: «Форматирование высоты строки».
- •14. Макрокоманда: «Специальная вставка – транспонирование».
- •15. Макрокоманда: «Выбор языка клавиатуры».
- •16. Макрокоманда: «Объединение ячеек».
- •17. Макрокоманда: «Добавление нового листа в рабочую книгу Excel».
- •18. Макрокоманда «Вставка символа».
- •19. Макрокоманда: «Заполнение арифметической прогрессии».
- •20. Макрокоманда: «Закрытие программы Microsoft Excel».
- •21. Макрокоманда «Создание индекса».
- •22. Макрокоманда «Выделение границ ячейки».
- •23. Макрокоманда «Центрирование данных в ячейке».
- •24. Макрокоманда: «Копирование в буфер обмена».
- •25. Макрокоманда: «Построение диаграммы».
- •26. Макрокоманда: «Занесение формул в ячейку».
- •27. Макрокоманда: «Автозаполнение - нумерация».
- •28. Макрокоманда: «Автозаполнение - формула».
- •Лабораторная работа №2. Определители 3-го порядка и их вычисление.
- •Лабораторная работа №3. Вычисление определителей 4-го порядка разложением по элементам любой строки.
- •Лабораторная работа №4. Вычисление определителей 4-го порядка разложением по элементам любого столбца.
- •Лабораторная работа №5 . Словесные алгоритмы линейной алгебры и их реализация в программе Excel.
- •Посчитайте определители следующих матриц:
- •Лабораторная работа №6. Вычисление ранга матрицы.
- •Задания для самостоятельной работы. Н айдите ранги следующих матриц: Лабораторная работа №7. Умножение матриц.
- •Это полезно знать!
- •Задания для самостоятельной работы.
- •Лабораторная работа №8. Вычисление обратной матрицы.
- •Задания для самостоятельной работы.
- •Лабораторная работа №9. Решение систем линейных уравнений по формуле Крамера.
- •Задания для самостоятельной работы.
- •Лабораторная работа № 10. Решение систем линейных уравнений в матричном виде.
- •Задания для самостоятельной работы.
- •Лабораторная работа № 11. Решение систем линейных уравнений с четырьмя неизвестными методом Гаусса.
- •Задания для самостоятельной работы.
- •Лабораторная работа № 12. Нахождение собственных значений линейного оператора.
- •Задания для самостоятельной работы.
- •Лабораторная работа № 13. Логические задачи в алгебре Буля.
- •Задания для самостоятельной работы.
- •Лабораторная работа № 14. Логические задачи в алгебре Жегалкина.
- •Если записать уравнение в виде
- •Уточнение корня методом проб.
- •Получим таблицу (рис. 15.3)
- •Уточнение корня методом половинного деления.
- •Задания для самостоятельной работы.
- •Лабораторная работа № 16. Задачи линейного программирования.
- •Задания для самостоятельной работы.
- •Семестр II Лабораторная работа № 2. Изучение числовых последовательностей
- •Задания
- •Лабораторная работа № 6. Численное дифференцирование степенной функции
- •Лабораторная работа №10. Приближенное вычисление определенных интегралов. Формула Симпсона.
- •Лабораторная работа№16. Закон устойчивости частот
- •Лабораторная работа №17. Анализ экономико-исторических явлений статистическими моделями
- •Задание
- •Список литературы
- •Дополнительная литература
Если записать уравнение в виде
f(x) =0 (3),
то для применения этих алгоритмов нет необходимости накладывать какие-либо ограничения на функцию f(x), а предполагается только что она обладает некоторыми свойствами типа непрерывности, дифференцируемости и т.д.
Эти свойства, накладываемые на функцию f(x) обусловлены теоремами о существовании корня непрерывной функции.
Теорема 1. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и принимает на его концах значения разных знаков, то на этом отрезке существует, по крайней мере, один корень уравнения (3).
Утверждение этой теоремы легко проиллюстрировать графически, так как корень уравнения (3) – это точка пересечения графика функции f(x) с осью абсцисс. Если же есть промежуток, на концах которого f(x) принимает значения разных знаков и функция непрерывна на этом промежутке, то, очевидно, существует, по крайней мере, одна точка, в которой график функции пересекает ось абсцисс.
Теорема 2. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], принимает на его концах значения разных знаков и производная функции f(x) сохраняет знак, то на этом отрезке существует корень уравнения (3), причем единственный.
В качестве примера приложения этих теорем рассмотрим решение уравнения (2). Приведем его к виду (3):
х–cos(x)=0, где f(x)=x–cos(x)
Процесс нахождения приближённых значений корней уравнения разбивается на 2 этапа:
-
Отделение корней.
-
Уточнение корней до заданной степени точности.
1. Отделение корней. Будем считать, что корень уравнения отделен на отрезке [a, b], если установлено, что он принадлежит этому отрезку, и других корней там нет.
Для решения данной задачи можно использовать программу Microsoft Excel. Вначале определим на каком отрезке лежит искомый корень. Для этого:
-
Включите компьютер;
-
после того, как на экране монитора появится рабочий стол операционной системы Windows, откройте окно Microsoft Excel;
-
сделаем первую строку – строкой заголовка, т.е. занесём в ячейки A1, В1, С1 таблицы элементы х и cos(x) и F(x) соответственно;
-
активизируйте ячейку А2 и занесите в неё число –1, после чего нажмите на клавишу Enter;
-
в ячейке А3 запишите формулу: =А2+0,1, после чего автозаполнением заполните ячейки А4А22;
-
активизируйте ячейку В2 и запишите в неё формулу: =COS(A2), после чего нажмите на клавишу Enter;
-
автозаполнением заполните ячейки В3В22;
-
активизируйте ячейку С2 и запишите в неё формулу: =А2–COS(A2), после чего нажмите на клавишу Enter;
-
автозаполнением заполните ячейки С3С22.
В результате мы получаем таблицу значений функции. Выберем промежуток, на котором функция меняет знак. Из рисунка 15.1 видно, что это отрезок [0,1].
Рис.
15.1
Функция f(x)=xcos(x) непрерывна на этом отрезке, при этом f(0)=-1, f(1)=0,4597, ее производная равна на всей области определения, следовательно, функция имеет единственный корень, который принадлежит отрезку [0, 1].
2. Уточнение корня до заданной точности. Рассмотрим различные алгоритмы уточнения корня.
Метод последовательных приближений.
Предположим. Что уравнение (3) можно записать в виде:
x=(x) (4)
Возьмем произвольное значение х0 из области определения функции (x) и будем строить последовательность чисел {xn}, определенных с помощью рекуррентной формулы xn+1=(xn), n=0,1,2,…(5).
Последовательность {xn}, называется итерационной последовательностью. При ее изучении возникают два вопроса:
-
Можно ли процесс вычисления чисел xn продолжать неограниченно, то есть, будут ли числа xn принадлежать области определения функции (х)?
-
Если итерационный процесс бесконечен, то как ведут себя числа xn, при n ?
Исследование этих вопросов показывают, что при определенных ограничениях на функцию (х) итерационная последовательность является бесконечной и сходится к корню уравнения (4):
, C=(C).
В качестве примера, иллюстрирующего данный метод, рассмотрим уравнение (2), в котором роль функции (х) играет cos(x). Теперь, в соответствии с рекуррентной формулой (5) уравнение (2) перепишем следующим образом
хn+1=cos(xn) (6).
Корень этого уравнения будем искать на отрезке [0, 1], а в качестве нулевого приближения выбираем середину отрезка х0=0,5.
В программе Excel расчет по (6) произведем для n=19.
В этой таблице процесс вычислений остановлен на 19-ой итерации и можно написать для корня с двойное неравенство:
0,738912449332103с0,739201444135799,
где х18=0,738912449332103,
х19=0,739201444135799.
Члены итерационной последовательности х18 и х19 определяют с как с недостатком, так и с избытком, с погрешностью, которая не превышает разности х19х18:
19=х19х180,0003
Для иллюстрации зависимости поведения {xn} от n, построим график функции xn=xn(n) (см. рис. 15.2).
Рис. 15.2
Эта функция колеблется вокруг среднего значения с=, которое можно принять за корень с точностью указанной погрешности.