1.3 Plus grand commun diviseur

Mots à retenir

des facteurs premiers (простые множители)

décomposer en produit de facteurs premiers (разложить на простые множители)

le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) (наибольший общий делитель)

des nombres premiers entre eux (взаимно простые числа)

Règles

1) Un diviseur commun à deux ou plusieurs nombres entiers est un nombre entier qui divise chacun d’eux.

Par exemple: 2 est diviseur commun à 6 et à 10.

2) Le Plus Grand Commun Diviseur à plusieurs nombres est appelé

le PGCD de ces nombres.

Par exemple: trouver le PGCD de 12 et 18.

Les diviseurs de 12 sont 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 et 12.

Les diviseurs de 18 sont 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 et 18.

Donc les diviseurs commun à 12 et à 18 sont 1 ; 2 ; 3 et 6.

6 est le plus grand des diviseurs commun à 12 et 18. Donc 6 est PGCD de 12 et 18.

Méthode :

Pour calculer le PGCD de plusieurs nombres, on décompose chaque nombre en produit de facteurs premiers. Le PGCD est fourni par le produit des facteurs premiers intervenant dans toutes les décompositions.

Par exemple: trouver le PGCD de 7 425 et 23 958.

On trouve que et

D’où PGCD(28 ; 15) =

3) Deux nombres entiers dont le PGCD est égal à 1 sont appelés des nombres premiers entre eux ; le seul diviseur commun est donc 1.

Par exemple: 28 et 15 sont-ils premiers entre eux ?

Les diviseurs de 28 sont 1 ; 2 ; 4 ; 7 ; 14 et 28.

Les diviseurs de 15 sont 1 ; 3 ; 5 et 15.

Le PGCD de 28 et 15 est 1. Donc 28 et 15 sont premiers entre eux.

Exercices

34) Déterminer la liste des diviseurs de 30. Déterminer la liste des diviseurs de 75. Donner la liste des diviseurs communs à 30 et 75. Préciser le PGCD de 30 et de 75.

35) Dresser la liste des diviseurs de 36. Dresser la liste des diviseurs de 32. Quel est le PGCD de 36 et de 32 ?

36) Dans chacun des cas suivants, déterminer sans calcul le PGCD des entiers x et y : a) x = 15 et y = 5 ; b) x = 45 et y = 90 ; c) x = 9 et y = 27.

37) Déterminer le PGCD de 120 et de 48.

38) Déterminer le PGCD de 190 et de 44.

39) Déterminer le PGCD de 140 et de 84.

40) Déterminer le PGCD de 159 et de 63.

41) Montrer que le PGCD de 36 et de 48 est égal à 12. Indiquer deux autres nombres dont le PGCD est égal à 12.

42) Calculer le PGCD de 56 et de 81. Que peut-on déduire pour les nombres 56 et 81 ?

43) Indiquer dans chacun des cas suivants si les nombres entiers x et y sont premiers entre eux : a) x = 39 et y = 91 ; b) x = 143 et y = 85.

44) Dans chacun des cas suivants, déterminer si les nombres a et b sont premiers entre eux : a) a = 13 et b= 15 ; b) a = 15 et b = 16 ; c) a = 12 et

b = 26 ; d) a = 39 et b = 45.

45) En appliquant les critères de divisibilité, prouver dans chacun des cas suivants que a et b ne sont pas premiers entre eux : a) a = 1 315 et b = 730 ;

b) a = 2 241 et b = 222.

46) Quels sont tous les nombres qui sont premiers avec 12 et qui sont inférieurs à 20 ?

47) Calculer le PGCD des nombres suivants en cherchant leurs diviseurs :

a) 168 et 360 ; b) 99 et 140 ; c) 144 et 180.

48) Calculer le PGCD des nombres suivants en utilisant une méthode :

a) 657 et 963 ; b) 50 000 et 15 860 ; c) 1 840 et 1 260 ; d) 18 150 et 23 850.

49) Le sol d’une pièce rectangulaire a pour dimensions 280 cm et 315 cm. On veut le recouvrir de dalles carrées identiques dont le côté est nombre entier de centimètres, sans faire de découpe. Déterminer la longueur du côté de la plus grande dalle possible. Combien de dalles faudra-t-il pour recouvrir toute la pièce ?

50) Le PGCD de deux nombres est 54. Le plus grand des deux nombres est 378. Quel peut être l’autre nombre ?

51) Trouver deux nombres entiers qui ont pour somme 135 et dont le PGCD est 27.