Задачник по теоретическим основам электротехники. Теория цепей. Учебное пособие для вузов
.pdf
ДЛя синусоидально. изменяющейся силы-(а'следо.вательнО, и nеР'емеще-
ния) мо.жет быть .записаiю в ко.Мl}лексно.й форме: |
. |
F=4,X+BjroX+M (jro)2X.
В том случае, ко.гда сила про.порцио.нальна току: F = Ai~-нахо.дим,
, что
А •
K+jroB-ro2М 1,
о.ткуда и опред~я~ся о.тно.шение амплитуд перем~щения и/тока.
4-134. Для· источника питания с напряжением и по. зако.ну Ома
И= (,+ jroL) i+Ё,
но. про.тиво.деЙствующая. э. д. с. Ё про.по.рцио.нальна ско.рости перемеще
ния катушки Ё = jronX, а следо.вательно., и то.ку (см. по.следнее выра-
. |
жение в методическом указании |
|
к предыдущей задаче). По.этому |
1', |
• |
( . |
|
jronA |
') • |
И= |
'+JroL+ K+jroB-&>2М |
I~ |
|||
.tУа |
Мно.житель при i в по.следнем |
||||
|
равенстве представляет собой иско. |
||||
|
мо.е вхо.дно.е со.про.тивление.. |
|
|||
|
4-145. По. о.пределению Ji.Oэф |
||||
|
фициент усиления |
по. напряжен!,!ю |
|||
Рис. 4-145P. |
Ка = |
и2/и1 |
и ко.эффициент усиле- |
||
_ |
ния |
по. 'Го.ку |
Ki = |
z~/i1• Нц, |
рис. |
4-145P представлена расчетная схема замещения трио.да, схемы замеще
ния трансформато.ра и приведенно.го. со.про.тивления нагрузки
'~ =:= 'н (Wl/w~)2 = 722 O~.
Из схемы о.чевидно., что.
.,в |
'.1 |
|
r~Zo |
и = - |
JLU |
( 'н, |
+'т) ZО+ZОRl+ Ri (',н+'т. ) •. |
С учетом расположения обмоток (РИСr 4-145, б) |
|||
Следовательно, |
|
и~ ~ - U2Wlfw2' |
|
|
|
|
|
|
- |
W2 |
,~Zo |
|
Ка = - |
-=--=-=:-----=:--- |
|
|
, |
Wl |
'eZo+ZoRi+Ri'_ ' |
где '9='~ +,т=722+ 1=723 Ом..
После. подстановки числовых данных полjчим: Ки = 0,223;
К.- Z2 |
_ |
и2/'н _ |
К 'ВХ -·2 230 |
J-Z1 |
- |
UJ'~x - |
u -,:;;- • . |
При изменении схемы включения трансформатора фаЗОI;IЫЙ YГO.Jl
коэффициента усиления изменится. на 1800.
Задача может быть также решена и при помрщи расчетной схемы;
на которой лампа замещена источtlиком тока SU1 , где S - крутизна,.
включенным параллельно сопротивлению Ri-
Токи в фазах цеriи:
1А= UА/ZА= 380/VЗ· 2 = 11 О А;
iB="U / ZB=380 L - |
1200/VЗ· 2= 110 L ..:..-120° A~ |
|
B |
|
|
ic=,UcI Zc=380 L |
1200/VЗ. 2= 1}0 L 120~ |
А. |
- |
- \ |
Ь и с (потеJ. |
По известным токам определим потенциалы точек й, |
||
циалы вершин треугольника нагрузки) относительно точки О, пот~-
циал которой положим равным нулю: |
) |
|
Фа=iА (г'- |
jxc)=220- j220' В; |
|
Фь~iв (г'- |
jx'c;) = - 300- j80 |
В; |
Фс=iс (г'- |
jx'c) =80+ j300 |
В. |
Показание вольтметра
1Фа-:-Фс 1= 1220- j220-80- j3OOI=538 В.
5-18. 1) Определим мощности, потребляемые лампами:
рА =40·30= 1200 Вт; Рв=40. 20=800 Вт;
Рс=40·10=4ООВт.
В цепи с нулевым проводом ,величины токов в фазах могут быть
определены через фазные мощности и фазное напряжение иф = ил/ y~
/А =рА/Иф= 1 200/-12!=9,45 А;
/в = РВ/ИФ = 800/127 = 6,30 А; Iс=Рс/Иф=4ОО/127=3,15 А.
Так как нагрузка актив.ная, то токи совпадают по фазе с соответ
ствующими напряжениями:
iA=/A L 0°::::;:9,45 А;
iB=IB L,-12()C!=6,30 L-1200=-3,15-j5,45А; ic=Ic L 120~=3,15 L 12~=-1,57+j2,72 А.
Ток в нулевом проводе
Io=iA +ib +ic =4,73-j2,73=5,45 L-30° А.
2) При обрыве нулевого провода и нес"мметри,Чной нагрузке
смещение, нейтрали: |
io |
|
. |
Е ЕУ |
|
ио10 |
=ЕУ=рА/И2+Рв/И2+Рс/U2 = |
|
= 36,7 L _30° = |
31,7 - j18,35 В. |
|
Напряжения при обрыве нулевого провода на каждой из фаз
нагрузки:
IйАО1 I~I UA-UОtО [=1 127-31,7+j18,35 1=96,4 В; Iиво! 1=1 (;в-0010 1=132 В;
Iиco~ 1=1 ис-UoJo j= 160 В,
МЕТОДlfЧВСi<.\IЕ- 'VI{А3Аниjl И' РЕШЕНИЙ К ГЛ. G
|
6 • Для кривой r |
(рис. 6-1) действующее значение напряжения |
||
U |
UmIJl2. Следовательно, |
если U = 100 В, то иm = |
141 В и первые |
|
три |
члена ряда ивк = |
90 - |
60 •cos 2rot - 12 cos 4rot В. |
В случае схемы |
рис. |
6-2, 8 комплексное напряжение на выходе для k-й гармоники. |
|||||
|
|
'!вх |
Zk |
1-~ |
• |
|
|
|
ин=и |
_ j/kroC+Zk |
ПkUвх |
|
|
|
|
при |
, (jkrot) |
|
|
|
|
|
Zk= ,+jkroL • |
|
|
||
|
При заданных параметрах дЛЯ О, 2 и 4-й гармоник соответственно |
|||||
получим:, Н1 == О; |
|
|
|
|
||
|
Z2 =, . j2roL! (, +j2roL) ~ 25 + j25 Ом и Н2= 1 L. 900; |
|||||
|
Z4=r· j4rol..! (,+ j4roL) =40+ j20 Ом и Н4= 1,11' L |
33°45'. |
||||
|
Тогда, |
|
|
|
|
|
|
|
ин=60 cos (2oot-900) - ~3,3 cos (4oot+33°45') В. |
|
|||
|
Действующее значение |
|
|
|
|
|
|
|
ин= .. ~J{601l +13,32 =43,5 В. |
|
|||
|
|
,,2' |
|
|
|
|
|
6-6. |
Е-сли из уравнения баланса моста Z2/Z1 = Zз/Z4' можно исклю~ |
||||
чить частоту, то мост можно сбалансировать |
при |
любой форме прило |
||||
женного напряжения. |
|
|
|
|
||
|
6-8. |
Цепь можно рассматрцвать' как состоящую из посл~довательно |
||||
соединенных: резистора" параллельного контура L1C1 и параллельного |
||||||
контура L2C2 • |
|
|
|
|
||
|
По методу наложения ток i представим со'стоящим из трех слагае |
|||||
мых: |
|
|
|
|
|
|
|
|
i=/o+i1 +i2, |
|
|
|
|
где |
10 - |
постоянная составляющая, i1 - |
ток |
первой |
гармоника, |
|
i2 - |
ток |
второй гармС>ниКII. |
|
|
|
|
Постоянная составляющая
lо=ио!,= 10/10= 1 А.
- |
При частоте (J) первой гармоники |
параллельный |
контур L1C1 |
|
|
настроен в резонанс. так как roL1 = |
l!roС1• Его' сопротивление беско |
||
|
нечно велико (потеРIi в контуре нет). |
|
|
|
|
Следовательно, и ток в ,резисторе равен НУJ.Iю, а напряжение первой |
|||
|
гармоники иl = 40 sin ro! ПРИЛ6жено |
на |
зажимы этого |
контура. Ток |
|
в индуктивно~ти L1: |
|
|
|
iL1 = [;11 jroL1= 401Yf. j20 = - j2/112 A~
. Напряжение на зажимах второго контура равно нулю, т. е. ток
в емкости С2 (и индуктивности L2) равен нулю. Поэтому по первому закону Кирхгофа
При частоте 200 второй гармоники параллельный контур L2C,
настроен в резонанс, так как 200L2 = 1I20оС2, его сопротивление беско·
нечно велИlЮ и напряжение И2 = 20 sin (200t - 450) приложено на за· жимы этого контура. Ток в индуктивности L2
. |
. |
/1/- |
90°= |
1 |
А. |
IL2 |
= U2/2jooIJ2=201. -45° r 2·2 1. |
1/ - 1. -135° |
|||
|
|
,_~' |
|
r 2 |
|
Ток в емкости С1 |
равен нулю и по первому закону Кирхгофа |
||||
|
i2= iL2 = 1 sin (200t - |
1350) |
А. |
|
|
Искомый ток
;=lo+i1 +i2 =1+2sin (oot-900) + 1 sin (200t-135 0 ) А.
6-12. Постоянные составляющие токов и напряжения на емкости:
1Ао=lВо= (ЕAo- ев)/г=0,5 А; lco=O; исо=ев=30 В.
На основной частоте и 2-й гармонике цепь содержит один источник э. д. с. еА' ДЛЯ основной частоты входное сопротивление цепи
|
jooLB (iooLc - j/ooC) |
|
|
|
|
|
||||
|
ZI = jooLB + jooLc - |
j/ooC |
со |
(резонан,с |
токов). |
|||||
Тогда |
iA1 =O; iBт= ЁА1m/jооLл= 1 1. -600 А; |
|||||||||
|
iСm=ЁАim/(jооLс-i/ШС)=1 1. 1200 А; |
|||||||||
|
UCm=iCm (- j/шС) =400 1. 300 В. |
|||||||||
Для 2-й гармоники сопротивление ветви С будет: |
||||||||||
|
ZC2 = j2(1)LC- |
j/2шС = |
j20 - |
j20 = О |
||||||
(резонанс |
напряжений), |
поэтому |
входное сопротивление Z2 = r = |
|||||||
= 60 Ом. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iAm=EA2m/Z2= lА; icm=iAm; IBт=O; iJcm = |
|||||||||
|
=icт(- j/2wC)=- j20° В. |
|
||||||||
Токи |
в ветвях (в |
амперах) |
и |
напряжение |
(в вольтах): |
|||||
|
iА =0,5 + sin 2шt; |
1А = -V 0,52+ 12/2=0,87; |
||||||||
|
iл= |
0,5 + sil1 |
(oot - |
60°); 1в = 0,87; |
||||||
|
ic = |
sin |
(шt + |
1200) + sil1 |
2шt; |
1с = |
1; |
|||
|
ис = 30 + |
40 sil1 (rot + |
300) + |
20 sil1 |
(2(М - |
900); |
||||
|
Uс= V302 + |
402/2 + |
20:!/2 = |
43,5; |
|
|||||
активная мощность Р = 1~г = 4,5 Вт. |
|
|
|
|
||||||
Мощности источника Э.д. с. еА: |
|
|
|
|
|
|
||||
активная РА=IАоЕАО+ 1А2ЕА2= 0,5 ·60 + |
I/Vf.60IYf =60 Вт; |
|||||||||
полная S =/ АЕА = 0,87 У602 |
+ |
302/2 + |
602/2 = 81 ВА. |
|||||||
6-14. |
Амперметр |
А1 |
показывает |
величину, |
пропорциональную |
|||||
действующему значению, |
амперметр А2 |
- |
пропорциональную постоян- |
|||||||
ной составляющей: А1/А2 =- [(1/10. Коэффициент К находится из усло |
|||
вия, что для СИНУСОИд~ задано А1 |
= А2• |
Так как для синусоиды 1 = |
|
= 1m/У2, а 10 = 2/m!tt, то К = |
0,9. |
А1/А2 = |
|
Например, для кривой а (рис. 6-1) |
0,95. |
||
6-18. При· разомкнутом рубильнике |
уиС = |
'1 = '2 = 100 Ом и, |
|
следовагельно, в цепи при любой частоте резонанс токов.
6-23. Из уравнения для правого контура находим / В' а затем напря-
жение ЧАВ·
6-25. С' = 1/roи, где V=1IU~+Ui+U~;
1 = у(ооси1)2+ (3roСUз)2+ (5roси5)2.
6-27. А. По формуле L = и//ro1 получаем значение индуктивности
35,2 мГ. В действительности действующее значение тока в цепи
1= Y-/i+/~+/i+li,
или
1 = 1I(U1/ro1L)2 +(U2/2ro1L)2 +(Uз/3ro1L)2+ (и4/40)1ца,
откуда истинное значение индуктивности
1 |
.... / |
и2 |
и2 |
и2 |
и:!. |
||
L= 1ro1 |
JI |
т |
+ т + |
-f + Н5 =30,0 мГ. |
|||
Ошибка составляет |
17,3%. |
|
|
|
|
||
6-'28. 2) При 'наличии 5-й гармоники |
|
|
|
||||
UФ = уUi + и: + и~, а Uл = уз 11 |
|
|
|||||
Ui + и~. |
|||||||
Если считать, |
что |
и5 |
= 0,1 и1, то |
Uл = 1IЗU1 уТЩ = |
|||
= 1IЗU11,005.
Следовательно, погрешность в определении и1 по показанию ли
нейного вольтметра без учета 5-й гармоники ~жоло 0,5%.
6-29. 1) При си~метричной нагрузке в нейтральном проводе нет
тока основной |
гармоники |
и |
|
|
|
|
||
|
|
\. |
. |
|
|
|
. |
|
|
/ /A~=El/ZH=70,7/(ltj3)=22,2 L -71035' А. |
|
||||||
Для тока 3-й гармоники 1Nз = |
зiАз и |
r |
|
|
||||
j |
- |
|
Ез |
21,2 |
-1 09 |
|
6804 ' |
А- |
|
Аз- |
ZиЗ+'3ZNз |
l+j9+6+j9 - , |
L - |
5 |
, |
||
|
/ |
А= -VJ~l +/~3 R:: 22,2 |
А; / N=3. 1,09 |
= 3,27 А. |
||||
Показание ваттметра:
р=/АIЕl cos <"Рl+/АзЕз cos <J>з=22,2. 70,7 cos 710 35' +
+1,09·21,2 cos 680 45',=58,4 Вт.
2)Если нет нейтрального провода, то U = Ез = .21,2 В.
6-34. В обмотке генератора протекает ток нулевой последователь
НОСТIf под действием 3-й гармоник:и э. д. с.
jз~ 3Ез/3Z.оз=JО,6/У2j3=- j2,5 А; lА=2,5 А..
Вольтметр показывает только ~. д. с.. QСНQВНОЙ гармоники U =
= Е1 = 100 61'.
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ К ГЛ. 7
7-1. а) В р~жиме' холостого хода на вторичных зажимах (/2 '=О)
из уравнений четырехполюсника типа А:
|
|
1Х |
|
2Х |
; 1Ix=CU2x' |
|
|
||
|
|
й |
=Ай |
|
|
||||
|
|
Для схемы рис. 7-1Р |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
llXjroL= й2Х; |
|
|
|
||
|
|
й1Х=11Х ( - j/roC+jroL), J |
|
|
|||||
|
или |
|
i1X = й2Х/j20; |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Рио. 7-1P. |
|
й1Х= |
й2Х ( - ' jl0+ j20)/j20. |
|
|
||||
, |
Следовательно, |
|
С = -jО,05 |
См; |
А = |
0,5. |
|||
В режиме 'короткого замыкания на вторичных зажимах (и2 |
= О) |
||||||||
из уравнений типа А: |
|
|
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
й;К= BI2K ; 11K = DI2К• |
|
|
|
|
|||
Для схемы рис. 7-1Р |
|
|
|
|
|
|
|
||
11K =J2K; |
й1К===: ( - j/шС) i1K =- jl0i2K • |
|
|
||||||
Следовательно, |
В = |
-jl0·0м; D = |
1.. |
. |
|
|
|
||
При разомкнутых вторичных зажимах и2х = |
иIX!А = 40 В. |
|
|||||||
7-4. А. При коротком замыкаllИИ на втqричных зажимах (и2' ~ О) |
|||||||||
из уравнений типа |
У получаем 11К = |
YllU1K , т. е. |
У11 - |
величина, |
|||||
обратная входному сопротивлению со стороны первичных зажимов
Z, |
21 |
2г
а)
Рис. 7-4Р.
при коротком замыкании вторичных: Уll= l!ZIK' При коротком замыка
нии схему рис. 7-4, а можно изобразить так, как показано на рис. 7-4Р, а.
Следовательно" ZIK = 2Z1Z2/(ZI + Z2) и
у11 = (Z2 + ZI)/2Z2Z1 = (2,5 ;.... j2.Б) • 10-2 См.
При холостом ходе на~вторичны~ зажимах (/2 = О) |
из уравнеwий |
|
типа у получаем: 0= У21иIХ + |
у2?.и2Х, и так к.ак д.ля |
симметРИЧНОГQ |
четырехполюсник~ Yzz = -Уll, |
то Vn = УI1и2х/иIХ. |
i |
С другой CTQPOHbI, при холостом ~oдe (рис. 7-4Р, |
б) |
й1х= (Z2 +Z1) i1x/2;' й2х= (Z2 - Z1) i1X/2, |
(а) |
или |
|
и2х/(;~x= (Z2 - t1)/(Z2 + Z1)' |
|
Поэтому |
, |
Y21'=(Z2-ZJ/2Z2Z1 = - (2~5+ j7,5) ·10-2 См=- Y1~'
Коэффициенты уравнений типа Z определяются проще. При холо· стом ходе на вт-оричны~ зажимах (/2 = О) из уравнений типа Z получаем:
и1х= Zl1i1X; и2х= Z2111X'
Для заданного четырехполюсника при холостом ходе (рис. 7-4Р, б)
выше. записаны уравнения (а). Сопоставляя их с последними уравнени-
ями, н~ходим: |
' |
|
|
Zl1 = (Z2 + Z1)/2 = |
5 ,Ом = -Zz2; |
|
Z21 = (Z2 - Z1)/2 = 5 - |
jl0 Ом = -Z12' |
Найти коэффициенты Z по уже известным коэффициентам У или,
наоборот, можно -и при помощи общих формул связи коэффициентов.
После определения коэффициентов Z и У режим четырехполюсника
легко рассчитывается по уравнениям типа Z или У.
7-8. Характеристическое сопротивление симметРИЧНОГQ четырех riолюсника можно определить, пред~арител.ьно вычисли~ сопротивле
ния короткого замыкания ZK и холостого хода Zx или коэффициенты
В и с, так как Zc = YZKZX = Ув/с. '
ЕСJ}И учесть, что четырехполюсник по рис. 7-8 предста~ляет собой
уравновещенную Т-образную схему, то можно найт~ характеристическ'ое сопротивл~ние по формуле .
Zc= ZT=Y Z1Z2'(1+Zl/4Z2)'
где' |
Z1 - |
суммарное |
продольное |
сопротивление; ~. - |
~перечное |
|||||
сопротивление. |
|
|
. |
|
|
|
|
|
||
|
Коэффициент передачи аттенюатора g = |
а определяется через со |
||||||||
противления ZK и Zx или коэффициенты А, |
В, С по формулам th а = |
|||||||||
= уZK/ZX; |
а= |
lп (А + Увс), |
а такЖе |
через сопротивления Z1 |
и Z2 |
|||||
|
|
|
_ |
|
а'-- |
|
|
|||
по формулам ch~=I+Z1/2Z2; |
sh 2=YZ1/4Z2' |
|
|
|||||||
|
7-16. ~••По определению |
входное |
сопротивление |
ZEJ.,x = |
U1!i1' |
|||||
tIапряжение и1 |
и ток i1 |
на входе связаны с напряжением |
И2 и током |
|||||||
lа на выходе уравнениями |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
~1=1~2+Bi2=(ArH+B).i2; } |
|
(а) |
|||||
|
|
|
11 =си2+DJ2= (Сги+D) 12' |
|
|
|||||
или |
|
-(;1'=(;2 ch g+i2zC sh g=i2(Гн ch g+Zc Sh g);} |
|
|
||||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
. |
(;2 |
1 |
. ('н)' |
|
(б) |
|||
|
|
11 = Zc shg+ 2 ch |
е= 12 |
Zc sh g+ch 8' . |
|
|
||||
|
Из (а) и (б) находим входное сопротивление |
|
|
|||||||
|
|
|
Z |
А,н+В z 'и+Z cth g |
|
|
||||
|
|
|
вх |
С,п+D |
с Z9+ rIt thg" |
|
|
|||