Однофакторный дисперсионный анализ

Проблема. Результаты консервативного лечения аневризм, осложненных внутричерепной гематомой (ВЧГ), неудовлетворительные - летальность составляет 50-85%. До настоящего времени существуют различия в хирургической тактике при разрывах артериальных аневризм, осложненных ВЧГ. Сложность выбора тактики обусловлена сочетанием гематомы с выраженным ангиоспазмом, риском повторного кровотечения из аневризмы у тяжелых больных, различной оценкой симптомов компрессии и дислокации мозга, трудностью выделения доминирующей причины тяжелого состояния при сочетании гематомы с вентрикулярным кровоизлиянием, ишемией мозга. Оценка влияния различных факторов на результаты хирургического лечения позволит определить тактику ведения больных с аневризмами в сочетании с внутричерепными гематомами, выявить причины неблагоприятных исходов хирургического лечения и прогнозировать исход операции. В связи с этим одной из задач является определение зависимости срока госпитализации от тяжести состояния пациентов при поступлении, оцениваемой по шкале Hunt-Hess.

Поставленную задачу можно сформулировать следующим образом: определить влияние многоуровневого фактора на случайную величину. Рассмотрим более простой случай - влияние рациона питания на привес животных. Было проведено исследование на 4 группах животных: первая группа потребляла обычный рацион, вторая – питалась только макаронами, третья – мясом, четвертая – овощами. Изучаемым фактором является рацион питания, который имеет четыре уровня, случайная величина – это привес животных. Нужно определить есть ли разница хотя бы между двумя средними в этих группах.

Прежде чем приступить к решению данной задачи, вспомним, что дисперсия является характеристикой разброса случайной величины относительно среднего.

В идеале, внутри каждой группы вес животных должен бы быть одинаковым, так как они питаются одинаковым рационом (например, все едят овощи). В реальности внутри групп будет наблюдаться разброс в привесе, в связи с тем, что кроме рациона на вес животных влияют другие факторы: особенности обмена веществ, поведенческих реакций, стрессоустойчивость и др. Эти факторы, которые мы будем называть неучтенными факторами, приводят к появлению внутригрупповой дисперсии D_{внутргр}.

Средние по группам также имеют разброс (относительно общей средней), который объясняется влиянием изучаемого фактора - разных рационов. Это приводит к появлению межгрупповой дисперсии D_межгр.

Рассмотрим случай, приведенный на рисунке 22. Видно, что внутри групп разброс показателя веса больше, чем разброс средних значений по группам. Можно предположить, что вес животных в этих группах не сильно зависит от рациона питания, а на него больше влияют неучтенные в данном исследовании факторы.

Рисунок 22. Внутригрупповая дисперсия

Другой случай представлен на рисунке 23.

В этом случае средние значения имеют больший разброс, чем данные внутри каждой группы. Показатели веса в различных группах расположились обособленно - можно сделать предположение, что рацион питания влияет на вес животных больше, чем неучтенные факторы.

Рисунок 23. Межгрупповая дисперсия

Таким образом, чтобы оценить влияние многоуровневого фактора на какую-то величину, необходимо сопоставить межгрупповую и внутригрупповую дисперсии. Межгрупповая дисперсия вносится изучаемым фактором, внутригрупповая дисперсия вносится какими-то другими (неучтенными) факторами.

Если то фактор не влияет

Если то фактор влияет

Если то неопределенность

Мы бы воспользовались этим правилом, если бы нам была доступна генеральная совокупность, но выборочные данные, в том числе выборочные дисперсии, ошибочны и в этом случае необходимо прибегнуть к теории проверки статистических гипотез.

Выдвигаем Н(0) – фактор не влияет на изучаемый признак

Задаемся уровнем значимости α

Вычисляем выборочную внутригрупповую дисперсию, как среднее значение дисперсий по группам

(43)

Где - дисперсия показателя в каждой изk групп

И выборочную межгрупповую дисперсию как отклонение средних в каждой группе от общей средней

(44)

n_i –количество объектов в i –той группе

- общая средняя

Вычисляем критерий Фишера

(45)

Сравниваем с (Приложение 7) для заданного α и числа степеней свободы

(46)

где k – число групп, n-общее количество объектов обследования

Если вычисленное значение критерия Фишера меньше критического, то Н(0) принимается и делается вывод, что фактор не влияет на исследуемый показатель.

В противном случае принимается Н(1).

Вернемся к задаче влияния тяжести состояния пациентов при поступлении на срок госпитализации (по данным из таблицы 48). Выдвинем гипотезы: Н(0): срок лечения в стационаре не зависит от тяжести состояния пациента при госпитализации. Н(1): срок лечения в стационаре зависит от тяжести состояния пациента при госпитализации Таблица 48. Данные по сроку лечения Тяжесть состояния по Hunt-Hess II степень IIIстепень IV степень k=3 №пациента Срок лечения, дни 1 43 58 96 2 48 64 120 3 28 78 100 4 41 64 98 5 35 49 82 ni 5 5 5 n=15 39 62,6 99,2 66,9 59,5 111,8 185,2 Σ=356,5 Таблица 49. Результаты статобработки D Fвыч f α Fкрит Межгрупповая дисперсия 4600,5 38,7 2 0,05 3,88 Внутригрупповая дисперсия 118,8 12 Т.к. Fвыч> Fкрит принимаем Н(1). Вывод: с вероятностью не менее 95% можно утверждать, что тяжесть состояния при госпитализации влияет на срок лечения в стационаре.

Контрольное задание 11:

Используя факторный дисперсионный анализ определить, отличается ли число тромбоцитов у детей разного возраста:

Таблица 50. Данные к заданию

Число тромбоцитов	Дети до года	Дети от года до 3 лет
Среднее Xi	196	221
Дисперсия D i	300	300
Дисперсия D межгр	3