1.7Модель аддитивного блуждания

Поэтому, говоря о процессе x(t), мы подразумеваем, что в данный момент времени x = x(t) имеет определ¼нное распределение P (x). В неко-

торый другой момент времени распределение может оказаться иным. Поэтому плотность вероятности P (x; t), среднее x(t) и волатильность (t)

наглядно видно на 2-м рисунке с несколькими реализациями xt. Èõ ïó- чок постепенно расширяется. В результате неопредел¼нность будущего значения xt увеличивается. Мы можем обнаружить xt достаточно дале- ко от начального значения x0 = 0. Это также проиллюстрировано на 3-м рисунке, где представлены плотности вероятности P (x; t), которые с течением времени постепенно расплываются .

Блуждающие траектории начинаются с определ¼нного начального зна- чения x0 = x(t0) в момент времени t0. Поэтому, говоря о вероятности, мы имеем дело с условной плотностью P (x0; t0 ) x; t). Пока моменты времени t0 и t являются целыми числами, соответствующими номеру скачка "k на очередном этапе.

Важно понимать, что xt = x(t) не является конкретной траекторией. Это одновременная совокупность всех возможных траекторий случайного процесса. Аналогично, случайное число x не подразумевает конкрет-

ного значения, а обозначает все возможные реализации, подчиняющиеся некоторому распределению P (x). Вероятность получить на t-ом шаге xt определяется вероятностями всех изменений "i. Так, дискретный вине- ровский процесс Wt определяется плотностью вероятности:

P ("1; :::; "t) = P ("1) ::: P ("t);

где равенство отражает независимость всех "i. Таким образом, Wt ôàê-

тически, многомерная случайная величина. p Обратим ещ¼ раз внимание на смысл записи: "1 + ::: + "t = " t.

Предположим, что в процессе моделирования мы генерим t независимых гауссовых чисел "1; "2; ::: и складываем их. Результат будет иметь такие

накопленной суммы вполне достаточно пользоваться величиной ", а не

совместной плотностью P ("1; :::; "t). В частности, если мы ищем среднее значение, в котором участвует сумма гауссовых чисел, его вычисление можно упростить, используя только одно случайное число. Однако, если нас интересует связь сумм, получаемых в различные моменты времени, то необходимы некоторые ухищрения. Рассмотрим их подробнее.

Для сравнения процесса блуждания с самим собой в различные мо-

менты времени его необходимо разбивать на неперекрывающиеся участки времени. Пусть процесс длится s шагов, а затем еще в течение t s.

Сравним свойства траекторий в моменты времени s и t (s < t):

Ws = "1 + ::: + "s;

Wt = "1 + ::: + "s + "s+1 + ::: + "t:

Вычитая уравнения, получим сумму t s случайных чисел:

p

Wt Ws = "s+1 + ::: + "t = " t s = Wt s:

ãäå "a, "b, как и везде в наших лекциях, независимые гауссовые числа с нулевым средним и единичной дисперсией. Первое из них "a ýêâè- валентно накопленной сумме начальных s приращений, а второе "b соответствует независимым от "a последующим t s приращениям.

Теперь можно найти ковариацию между Ws è Wt. Òàê êàê Wt = 0, òî:

собой длительность общей для Ws è Wt истории. Для прояснения смысла

Таким образом, если известно, что в момент времени s сумма равна Ws, то наилучшим прогнозом будущего значения Wt будет уже известное Ws. Èç (1.40) следует, что линейная регрессионная модель оказывается в дан-

ном случае точной (l C9). При этом е¼ шумом выступают накопленныеp после момента времени s изменения: = "s+1 + ::: + "t = "b t s.

Мы будем часто усреднять гауссовы величины, поэтому в качестве упражнения стоит проверить следующие соотношения ( i < j < k):

[Процесс Wk необходимо разбить на три интервала ( l C10).]

В заключение раздела ответим на следующий вопрос. Если x = x1 â момент времени t = t1, то какова вероятность обнаружить его на следу- þùåì øàãå t = t2 в значении x2? Очевидно, что она равна вероятности изменения x:

виде гауссову плотность веро- ятности для " = x2 x1. В результате условная вероятность зависит от обоих аргументов, поэтому случайные числа x1 è x2 являются зависимы- ìè.

Дискретная траектория блуждания описывается множеством случайных величин xt = fx1; x2; x3; :::g, задающих возможные значения x на ша-

ге t. Индекс можно записать в функциональной форме x(t) и говорить о

случайной функции, которая пока определена только в дискретных точ- ках. Таким образом, случайная функция это многомерная величина. Для задания свойств случайного процесса в общем случае необходимо определить плотность вероятности P (x1; x2; x3; :::) с бесконечным числом аргументов.

Для винеровского процесса ситуация существенно упрощается, так как каждое следующее xt+1

шествующего xt и никак не зависит от более длинной предыстории. Этот факт мы будем записывать в следующем виде ( l C11):

Если известно xt, òî xt+1 будет определяться значением xt и случайным изменением ", а не всей историей x1; :::; xt 1. Процессы с такой корот- кой памятью называются марковскими процессами. Они представляют собой следующее приближение после независимости случайных величин, для которых P (x1; :::; xt ) xt+1) = P (xt+1):

Марковские процессы позволяют представить совместную вероятность любой размерности в виде цепочки условных вероятностей. Например:

Для этого сначала записываем P (x1; x2; x3) = P (x1; x2) P (x1; x2 ) x3) по определению условной вероятности. Затем используем определение для P (x1; x2) = P (x1)P (x1 ) x2) и марковское условие короткой памяти: P (x1; x2 ) x3) = P (x2 ) x3). Таким образом, чтобы произошло x1; x2; x3, необходимо, чтобы свершилось x1. При условии, что это про- изошло, далее реализовалось x2, è ò.ä.