5.6Метод последовательных приближений

При разложении средних величин в ряд по tn (ñòð. 95) мы упоминали

метод последовательных приближений как один из итерационных способов построения решения. Рассмотрим его теперь подробнее, используя стохастическое интегральное уравнение со сносом и волатильностью, не зависящими от времени:

ZZ

Идея метода состоит в выборе некоторого нулевого приближения случайной функции x0(t), удовлетворяющего начальному условию x0(0) = x0, и получении поправок к нему по следующей схеме:

ZZ

xk+1(t) = x0 + a xk( ) d + b xk( ) W :

0 0

В правой части стоит известная случайная функция xk(t), найденная на предыдущей итерации. В результате интегрирований получается следующее приближение к решению. Заметим, что на каждой итерации текущее приближение удовлетворяет начальному условию xk(0) = x0. Вообще го- воря, требуется доказать, что подобная процедура при бесконечном е¼ применении сходится к точному решению уравнения. Мы не будем этого делать, а рассмотрим пример е¼ использования.

В качестве нулевого приближения выберем начальное условие x0. Òî- гда постоянные величины a0 = a(x0) è b0 = b(x0) выносятся за интеграл, и первая итерация имеет вид:

которая активно использовалась в предыдущих главах. Понятно, что она работает тем лучше, чем меньше прошло времени t от начального момен-

òà t0 = 0. При численном решении стохастических дифференциальных уравнений выражение (5.32) часто называется схемой Эйлера.

ãäå a00 = a0(x0) è b00 = b0(x0). Подставляя их и (5.31) в интегральное уравнение, для второй итерации имеем:

Воспользуемся формулой интегрирования по частям (см. Справочник R54, ñòð. 282) и известным интегралом по W от W (5.10), ñòð. 131:

С их помощью перепишем второе приближение к решению:

Интеграл по времени St от винеровской переменной через Wt íå âûðà-

жается. Однако,påсли винеровский процесс выражен через гауссову переменную Wt = " t, то такой интеграл выражается через две независимые

Поэтому для второго приближения к решению можно записать:

Так же, как и схема Эйлера, это соотношение работает тем лучше, чем меньше t. Однако этот ряд имеет второй порядок малости по t и явля-

ется более точным. Первую строку в этом решении (точность порядка t)

называют схемой Милстейна. Мы воспользуемся ею и более точным выражением (5.33) в девятой главе для ускорения сходимости численного решения стохастических дифференциальных уравнений.