72 |
Глава 2. |
2.8Порождающий процесс Винера
Стохастическое дифференциальное уравнение содержит в качестве шума W изменения винеровского процесса Wt. В результате:
каждая выборочная траектория винеровского блуждания Wt полностью определяет выборочную траекторию произвольного стохастического уравнения с шумом W .
Даже в тех случаях, когда мы не можем в явном виде записать решение уравнения в виде простой функции xt = f(t; Wt), предполагается е¼ существование. Если у нас есть несколько случайных процессов, уравнения которых содержат один и тот же стохастический шум W , то они
должны быть между собой скоррелированы. Рассмотрим пример:
dy = g(t) W: |
(2.42) |
dx = f(t) W |
|
Решение каждого уравнения может быть записано при помощи гауссовой величины ( (2.18) ñòð. 56). Однако, несмотря на одинаковую винеровскую переменную W , в решениях должны стоять различные случайные вели-
÷èíû " è :
|
= x0 + Xfi 1 "i |
p |
|
|
|
|
x |
p t = x0 + F (t) " |
|||||
|
= y0 + Xgj 1 "j |
|
|
|
|
|
y |
|
|
t = y0 + G(t) ; |
|||
где дисперсии равны:
t |
t |
F 2(t) = Z f2( ) d ; |
G2(t) = Z g2( ) d |
t0 |
t0 |
На каждой итерации, в обоих суммах стоят одинаковые случайные числа "k. Однако так как они умножаются на различные коэффициенты fi è gi, результирующие гауссовы числа будут скоррелированы:
|
|
|
|
fi 1gi 1 t = Z |
t |
|
F (t) G(t) h" i = i;j=1 fi 1gj 1 h"i"ji t = |
i=1 |
f( )g( ) d ; |
||||
X |
X |
t0 |
|
|||
òàê êàê h"i"ji отлично от нуля только при i = j. Таким образом: |
||||||
|
1 |
Z |
t |
|
|
|
h" i = (t) = |
f( )g( ) d 6= 1: |
(2.43) |
||||
F (t) G(t) |
||||||
|
|
t0 |
|
|
|
|
Заметим, что в общем случае h" i зависит от времени.
Стохастические уравнения |
73 |
Рассмотрим конкретное применение этих формул на примере процесса Орнштейна-Уленбека:
dx = (x ) dt + W:
Перейд¼м при помощи леммы Ито к процессу y(t) = F (t; x) = et (x ):
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
||||
dy = et W |
=> |
y(t) = y0 + |
p |
|
pe2t 1 ; |
||
2 |
|||||||
ãäå N(0; 1), à y0 = x0 . Поэтому решение для x имеет вид ( > 0):
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|||
x(t) = + (x0 )e t + |
p |
|
p1 |
e 2t ; |
||
2 |
||||||
Если мы интересуемся свойствами этого процесса как такового, данного решения вполне достаточно. Однако, если мы хотим прояснить его связь с порождающим винеровским процессом Wt, необходимо записать:
t |
= "p |
|
|
|
s |
|
t 1 |
+ e t |
|
|||
W |
t; |
" = = |
2 1 |
e t ; |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где мы воспользовались (2.43) ñ f(t) = 1 è g(t) = et. Òàê êàê " è
скоррелированные гауссовы числа, для вычисления моментов произвольных порядков удобно перейти к паре независимых гауссовых величин:
В результате: |
" = "1; |
= "1 + p |
1 2 |
"2: |
"2 = 2 = 1; |
" = ; |
"2 2 = 1 + 2 2; |
||
и т.д. Теперь мы можем вычислить любые статистики, в которых участвуют и процесс Орнштейна-Уленбека x, и порождающий его винеровский
процесс x:
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
t |
|
|
|
|
|||||||
Wt xt |
|
|
p1 |
e 2t " = |
1 e t : |
|||||||
= |
p |
|
|
|||||||||
|
||||||||||||
2 |
||||||||||||
Если нас интересуют предсказательные возможности порождающего процесса, необходимо записать решение со сдвигом:
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|||
xt+ = + (xt )e + |
p |
|
p1 |
e 2 0; |
||
2 |
||||||
и вычислить:
Wt xt+ = Wt xt e = (1 e );
òàê êàê 0 на интервале [t:::t + ] не зависит от винеровского процесса в момент t.
74 |
Глава 2. |
Рассмотрим ещ¼ одну задачу для двух процессов с одинаковым шумом W :
dx = W
dy = f(x; t) W:
Åñëè x0 = x(0) = 0, òî x(t) = Wt это винеровский процесс, предоставляющий уравнению для y не только изменения W , но и накопленное
значение Wt, от которого зависит амплитуда шума. Будем, как обычно, использовать итерационный метод:
i |
|
|
|
Xj |
|
|
|
p t |
|||
xi = x0 + "j |
|||
=1 |
|
|
|
n 1 p
X
yn = y0 + f(xi; ti) "i+1 t:
i=0
В решении для yn величины xi содержат сумму гауссовых переменных по "i включительно. Они не зависят от "i+1, поэтому hyni = y0. Аналогично вычисляется дисперсия второго процесса:
n 1
X
(yn y0)2 = hf(xi; ti)f(xj; tj) "i+1"j+1i t:
i;j=0
Эту сумму необходимо разбить на три части, когда индекс i меньше j,
больше, и равен:
X X X X
= |
+ |
+ |
: |
i;j |
i<j |
i>j |
i=j |
Первая и вторая суммы равны нулю, так как они содержат члены типа hf(x1; t1)f(x2; t2)"2"3i. Величина "3 не зависит от всех остальных случайных чисел, среднее разбивается на произведение средних и оказывается равным нулю h"3i = 0. В результате ненулевое значение имеет последняя сумма со слагаемыми типа f2(x1; t1)"22 = f2(x1; t1) "22 . Поэтому для дисперсии имеем следующее выражение:
2(t) = (y(t) y0)2 = Z |
t |
|
||
f2(x0 + "p |
|
; ) d ; |
|
|
|
(2.44) |
|||
t0 |
|
|
|
|
где в явном виде подставлено решение для x. Таким образом, усредняя
с гауссовой плотностью вероятности подынтегральную функцию и вы- числяя интеграл от обычной функции времени, мы получаем значение дисперсии случайного процесса. Подчеркн¼м, что сначала происходит усреднение, и только после этого проводится интегрирование.
Стохастические уравнения |
75 |
Системы уравнений с одинаковым шумом позволят прояснить ещ¼
одну важную особенность стохастической математики. Рассмотрим следующий пример с начальными условиями x0 = x(0) è y0 = y(0):
dy = x W: |
(2.45) |
dx = W |
|
Может появиться искушение разделить одно уравнение на второе и проинтегрировать обыкновенное дифференциальное уравнение:
dy = x dx |
; |
y |
|
y |
0 |
= |
x2 x02 |
: |
(2.46) |
|
|
|
2 |
|
|
||||
Если так можно, то решение должно оставаться на детерминированной кривой y = y(x). Однако на самом деле это неверно! Дело в том,
что, хотя стохастический член W сократился, дифференциалы dx, dy
по-прежнему являются изменением случайных функций, для которых неприменимы обычные правила интегрирования. В частности, x dx 6=
d(x2)=2 (l C22). Для подобных операций служит лемма Ито. Решение системы (2.45) на самом деле имеет вид:
x = x0 + W
y = y0 + x0 W + 12 (W 2 t):
Действительно, рассматривая y = F (t; W ), как функцию времени и W , мы можем воспользоваться леммой Ито. При этом dW = W , поэтому снос равен нулю a = 0, а волатильность единице b = 1:
dy = |
@y |
+ |
1 @2y |
dt + |
@y |
W = (x0 + W ) W = x W; |
||
|
|
|
|
|
||||
@t |
2 @W 2 |
@W |
||||||
что совпадает со вторым уравнением системы (2.45). В качестве упраж- нения (l H17) предлагается решить (2.45) при помощи итераций и про- верить (l H18) выполнимость (2.44).
Таким образом, необходимо помнить, что дифференциалы типа dx не являются обычными малыми приращения функции x(t). Это случай-
ные величины. Нельзя под дифференциал как обычно затаскивать функции: 2xdx 6= d(x2). Следует также помнить, что
дифференциальные стохастические уравнения это лишь символическая запись непрерывного предела итерационной схемы.
Ни когда не будет лишним проверить полученный результат при помощи численного моделирования на компьютере. То, что при этом сложно сделать предельный переход t ! 0, не должно останавливать. В конеч-
ном сч¼те, большинство реальных случайных процессов в Природе на определ¼нном временном масштабе являются дискретными!
76 |
Глава 2. |