2.7Автокорреляция и спектр

В первой главе (стр. 40) мы говорили о том, что важной характери-

стикой стохастического процесса является связь прошлого и будущего . Она определяется автоковариацией между двумя моментами времени t1 < t2 при условии, что при t = t0 наблюдалось значение x0 = x(t0):

Если решение стохастического дифференциального уравнения выражено через гауссову случайную переменную ", то вычисление автокова-

риации становится несложной задачей. Рассмотрим, например, винеровское блуждание с начальным значением x0 = x(t0):

p

x(t) = x0 + (t t0) + t t0 ":

Удобно положить t0 = 0, t1 = t è t2 = t + . При вычислении автоковариации предполагается, что x, прежде чем достигнуть xt+ = x(t + ), проходит через xt = x(t). Поэтому решение необходимо разбить на два интервала времени [0:::t] и [t:::t + ]. Считая xt начальным условием при= 0 äëÿ xt+ запишем:

p

xt+ = xt + + ": (2.38)

Если будущее блуждание " не зависит от случайной величины процесса xt в момент времени t, то hxt"i = hxti h"i = 0, è:

hxt+ xti = x2t + hxti :

Òàê êàê:

hxti = x0 + t; x2t hxti2 = 2 t;

легко найти автоковариационную функцию:

cov(t; t + ) = hxt+ xti hxt+ i hxti = 2 t:

Она зависит только от ближайшего к t0 = 0 времени t и не зависит от . Смысл этого факта мы обсуждали при описании дискретного винеровского процесса (стр. 36).

Аналогично вычисляются автоковариации для других стохастических процессов. В качестве упражнения имеет смысл найти автоковариацию для логарифмического блуждания (l H13) и броуновского моста (l H14).

Для процесса Орнштейна-Уленбека решение:

при вычислении автоковариации также необходимо разбить на два интервала (l H15). В результате (t0 = 0):

Если мы рассмотрим большое t, но конечное , то автоковариация

(2.40) будет стремиться к выражению, зависящему только от разности врем¼н = t2 t1:

Стационарным случайным процессом называется процесс, свойства которого не зависят от выбора начала отсч¼та времени. Стационарность в широком смысле означает, что среднее значение и волатильность не зависят от времени x(t) = const, (t) = const, а корреляционная функция

является только функцией разности врем¼н cov(t1; t2) = cov(t2 t1). По этому определению винеровское и логарифмическое блуждания не являются стационарными в широком смысле. В частности, для винеровского процесса волатильность увеличивается со временем, а автокорреляционная функция зависит только от первого времени t1. В то же время, эти процессы являются стационарными в узком смысле. Их среднее и вола- тильность зависят от t t0 и не изменяются при сдвиге времени. Процесс Орнштейна-Уленбека становится стационарным в широком смысле в асимптотическом пределе t ! 1. При задании произвольного x0, сильно отличающегося от , процесс будет стремиться к (большой снос). При

попадании в окрестности этого равновесного уровня начинается блуждание, статистические свойства которого не зависят от того, какое значение x0 было в начальный момент времени. Происходит забывание начальных условий.

Если коэффициенты сноса и волатильности в стохастическом дифференциальном уравнении Ито не зависят от времени, то его решение не должно зависеть от выбора начала отсч¼та x = f(x0; t t0; "). Оно является стационарным в узком смысле. Но только в достаточно простых ситуациях среднее и волатильность постоянны и, следовательно, стационарны в широком смысле.

Представим случайную функцию x(t) в следующем виде:

X

x(t) = x(t) + k k(t);

k

ãäå k случайные нескоррелированные величины с нулевым средним и единичной дисперсией. В общем случае они имеют не гауссово распределение. Функции k(t) являются обычными неслучайными функциями времени, а x(t) среднее значение стационарного процесса. Подобное

представление называют каноническим разложением. Автоковариационная функция и волатильность, в силу независимости

h i ji = ij случайных величин i, выражаются через функции k(t):

X X cov(t1; t2) = k(t1) k(t2); 2(t) = 2k(t):

k k

В случае стационарных в широком смысле случайных процессов в ка- честве базиса k(t) удобно выбрать гармоники Фурье. Рассмотрим симметричный интервал времени [ T=2::T=2] и введ¼м частоты !k = 2 k=T . Тогда стохастическим аналогом детерминированного фурье разложения (стр. 314) будет следующее представление:

1

X

x(t) = x + f k ak cos(!kt) + k bk sin(!kt)g ;

k=0

ãäå k, k независимые случайные числа с нулевым средним и единич- ной волатильностью. Найд¼м ковариацию:

Для стационарного процесса ковариация зависит только от разности врем¼н = t2 t1. Это произойд¼т, если a2k = b2k:

1

X

cov(t1; t2) = cov( ) = a2k cos(!k );

T=2

Коэффициенты a2k являются квадратами амплитуд и характеризуют вклад той или иной гармоники с частотой !k в случайный процесс. Чем они больше, тем типичнее случайные колебания с этой частотой.

Введ¼м спектральную функцию S(!) = a2k= ! = a2k T=2 и устремим

T к бесконечности. Так как ковариационная функция, в силу определе-

ния, симметрична: cov(t1; t2) = cov(t2; t1), то стационарная ковариация будет ч¼тной: cov( ) = cov( ). Поэтому:

В стационарном случае случайный процесс совершает некоторые нерегулярные колебания вокруг среднего значения. Иногда эти колебания обладают свойством квазипериодичности, когда наблюдается некоторая изменяющаяся, но вс¼ же в среднем стабильная частота колебаний. Инструментом изучения подобных явлений служит спектральная функция, являющаяся фурье образом стационарной ковариационной функции cov( ) = cov(t2 t1).

Для процесса Орнштейна - Уленбека:

Это монотонно убывающая функция с максимумом при ! = 0. Чем параметр меньше, тем более типичными будут маленькие частоты ко-

лебания (большие периоды). В этом случае притяжение к равновесному уровню слабое, поэтому возможны блуждания, уходящие далеко и надолго вверх или вниз от положения равновесия.

До сих пор мы предполагали, что начальное условие для случайно-

го процесса зафиксировано абсолютно точно. Иногда удобно рассматривать некоторый набор начальных условий, задаваемый плотностью вероятности P (x0). В этом случае величина x0 в наших решениях будет не константой, а случайной величиной. Обычно предполагается, что она не зависит от свойств блуждания в последующие моменты времени и hx0"i = hx0i h"i = 0. Следовательно, дисперсия винеровского блуждания:

p

(x(t) x)2 = (x0 x0 + t t0 ")2 = (x0 x0)2 + 2 (t t0)

равна сумме неопредел¼нности начальных условий и неопредел¼нности процесса блуждания x2 = x20 + 2 (t t0). Аналогичным образом подправляются и выражения для автоковариации.