Стохастическая природа

Просуммируем (7.1) по = = 4; 5; 6, т.е. по координатам скорости (вторая динамическая переменная):

При t броуновская частица забывает начальное значение скорости

v0, и среднее е¼ квадрата стремится к величине 3 2=2. Этот результат можно сразу получить из уравнения, положив hv_2i = 0.

Температура пропорциональна средней кинетической энергии молекул воды. В процессе постоянного столкновения с броуновской частицей их кинетические энергии выравниваются, поэтому:

ратуру и энергию. В результате мы нашли зависимость волатильности внешних воздействий со стороны молекул от макроскопически измери-

мых величин температуры T и вязкости жидкости . При комнатной

температуре T 300 K типичная среднеквадратичная скорость равнаv2 1=2 = p3kT=m 2 10 3 м/с. Заметим, что молекулы воды, имея массу m0 3 10 26 кг, обладают существенно более высокой скоростью600 м/с. Кроме этого, при плотности воды 0 = 103 êã/ì3 расстояние между молекулами d (m0= 0)1=3 3 10 10 м, что сравнимо с их раз- мером. Это означает плотную упаковку молекул и очень частые толчки молекул по броуновской частице. Поэтому непрерывное стохастическое дифференциальное уравнение в данном случае более чем уместно.

Сверн¼м уравнения (7.1) ïî = = 1; 2; 3 è = 1; 2; 3, = 4; 5; 6

(можно решить сначала уравнения для каждой компоненты отдельно, а затем сложить эти решения):

hx_2i = 2 hxvi ; hxv_ i = 1 hxvi + v2 :

Найд¼м асимптотическое поведение. Если hxv_ i = 0, то скалярное произ- ведение координаты на скорость равно константе hxvi = v2 . Поэтому

среднее значение квадрата координаты при больших временах равно:

Таким образом, дисперсия квадрата радиус-вектора со временем увели-

чивается линейно. Этот эффект наблюдается в эксперименте. При комнатной температуре параметр = a3=kT 1 c определяет темпы

типичного дрожания броуновской частицы ( l C27).

184 Глава 7.

Если плотность частицы выше, чем у воды 0, то > 0 и уравнение для средней скорости

hv_ i = g 1 hvi

приводит к тому, что в асимптотическом пределе частица опускается вниз в среднем с постоянной скоростью:

hvi = g + (v0 g) e t= ! g 1a:

Естественно, рано или поздно на е¼ пути окажется дно сосуда. Произойд¼т отражение от него и снова блуждание со сносом вниз. В результате возникнет стационарное распределение по координатам и скоростям. Чтобы найти его, рассмотрим уравнение Фоккера-Планка:

имеющее в стационарном случае @P=@t = 0 следующий вид:

Несложно проверить, что этому уравнению удовлетворяет функция:

где = 1=kT . Величина E(x; v) является энергией частицы (кинетиче- ская плюс потенциальная). Полученный результат P (x; v) e E имеет

достаточно общий характер и называется распределением Гиббса. Чем меньше энергия системы, тем более вероятно такое состояние.

Если ось z направлена вверх, то gx = gz. При нормировке плотности

вероятности предполагается, что отражающая поверхность дна сосуда расположена в точке z = 0. По мере подъ¼ма по z вероятность встретить

броуновскую частицу экспоненциально падает:

P (z) = a e z=a; = mgakT = 34kTg ( 0) a4;

где безразмерный параметр характеризует темпы спада вероятности,

если расстояние выражено в радиусах частицы. При фиксированной плотности броуновской частицы распределение вероятностей оказывается очень чувствительным к е¼ размеру.

Работа Ланжевена была инспирирована теорией броуновского дви-

жения Альберта Эйнштейна (Albert Einstein), опубликованной в 1905 г. Его рассуждения выглядели следующим образом.

Пусть координата броуновской частицы x претерпевает случайные изменения " по одной оси и функция P (x; t) является плотностью вероятности найти е¼ в точке x. Если в момент времени t координата была x ", то, изменившись на " в течение малого времени , в момент времени t она станет равной x. Произведение вероятности начального состояния P (x "; t ) и вероятности независимого от него изменения (") даст вероятность конечного состояния P (x; t), которую нужно просуммировать по всем возможным значениям ":

1

Z

P (x; t) = P (x "; t ) (") d":

1

Разложим уравнение в ряд до первого порядка по и второго по ":

Если направления равновероятны, то h"i = 0. Вводя конечное отношение

Это уравнение теплопроводности соответствует винеровскому блужданию dx = x W с дисперсией x, линейно увеличивающейся со временем.

Записывая систему уравнений Ланжевена, мы исходили из двух динамических переменных x и v. При этом среднее значение v быстро (при t ) стремилось к постоянному значению, тогда как динамикой обладала переменная x. Возьм¼м второе уравнение системы Ланжевена и в нулевом приближении положим dv = 0. Выразив из него vdt и подставив его в первое уравнение, получим:

где V (x) - в общем случае произвольная потенциальная энергия частицы, а r е¼ градиент. Соответствующее этому стохастическому уравнению

уравнение Фоккера - Планка было получено Смолуховским в 1906 г. Подобный способ устранения быстро изменяющихся переменных яв-

ляется достаточно общим и мощным приближенным методом решения различных стохастических задач.