3.3Логистическое уравнение

Динамика роста в условиях ограниченности ресурсов описывается

при помощи логистического уравнения (стр. 10). Рассмотрим его стохастический аналог с начальным условием x0 = x(0):

dx = ( x x2) dt + x W:

Прежде чем приступить к анализу задачи, стоит уменьшить число параметров, проведя скейлинговые замены: t ! t= , x ! x = . В этих

переменных уравнение принимает вид:

p

dx = x (1 x) dt + 2 x W;

ãäå = 2=2 . При масштабировании времени мы воспользовались тем, p

что W = " dt. Таким образом, с точностью до размерных преобразований свойства решения определяются единственным параметром . Найдя решение уравнения, мы всегда можем сделать обратное преобразование:

В детерминированном случае ( = 0) задача имеет простое решение:

В пределе t ! 1, при любом начальном условии x0, решение стремится к равновесному значению x = 1. Если в этой точке оно находится с самого начала x0 = 1, то решение там и оста¼тся и не зависит от времени.

Качественно это поведение легко понять. Уравнение a(x1) = 0 имеет две особые точки x1 = 0 è x1 = 1. Если разложить a(x) в окрестности особой точки в ряд по отклонениям от не¼, то уравнение примет вид:

dxdt = a(x) a0(x1) (x x1) + ::

Åñëè a0(x1) > 0, то это точка неустойчивого равновесия. Действительно, при x > x1 производная dx=dt будет положительна, и x начн¼т увеличи-

ваться, удаляясь от x1. Устойчивое равновесие возможно только, если a0(x1) < 0. Поэтому для логистического уравнения единственной устой-

чивой точкой является x1 = 1. Именно к ней, в пределе больших врем¼н, и стремится решение.

В стохастическом случае решение найти не так просто. Для анализа асимптотических свойств при t ! 1 воспользуемся динамическим уравнением для средних (3.3), ñòð. 78, ñ F = ln x è F = x:

hln_xi = 1 hxi hx_ i = hxi x2 :

Положив производные по времени равными нулю, получаем:

Как мы видим, стохастичный шум уменьшает численность популяции, которая в детерминированном случае стремится к 1. Обратим внимание

на то, что положительная дисперсия возможна только при < 1. Стационарное уравнение Фоккера-Планка приводит к гамма-распределению:

P (x) = 1 x 1 e x= ;( )

где = (1 )= . В окрестности максимума xmax = ( 1)= гамма - распределение можно приближ¼нно описать гауссианой. Если велико, то

максимум сдвигается впраâо, и его относительная ширина уменьшается. Асимметрия asym = 2=p и эксцесс excess = 6= распределения стре-

мятся к нулю при ! 1. Плотность P (x) несимметрична (см. стр. 83),

поэтому характеристикой значений случайной величины может служить как hxi, так и xmax.

Выберем теперь в динамическом уравнении F = 1=x:

откуда:

Обратная функция нелинейна (1=x 6= 1=x), и это решение не да¼т нам возможности найти x(t). Заметим, что y(t) = 1=x(t), в силу леммы Ито, удовлетворяет линейному уравнению:

p

dy = 1 + (2 1)y dt 2 y W:

Несмотря на особенность в знаменателе (3.15), при = 1=2 решение не

обращается в бесконечность. В этом легко убедиться, разложив экспоненту в ряд при малых 2 1. В результате предел решения при ! 1=2 имеет вид: x 1 = x0 1 + t: Этот результат можно получить сразу из исходного уравнения (3.14), положив = 1=2.

Поведение решения можно исследовать численными методами. Для

этого, при помощи итерационной процедуры (стр. 49), генерится большое количество выборочных траекторий. По ним находят среднее hxi,

волатильности x(t) или плотность вероятности P (x0; t0 ) x; t). Детали реализации подобных вычислений на языке C++ мы рассмотрим в

девятой главе, а сейчас привед¼м графики поведения среднего и волатильности процесса.

В качестве начального условия выберем x0 = 1. Слева на рисунках представлены средние значения при различных параметрах (числа возле линий), а справа волатильности:

Если < 1, то среднее значение стремится к не нулевому уровню hxi = 1 . При > 1 и среднее, и волатильность стремятся к нулю. Это

означает, что при большом стохастическом шуме решение вырождается в константу x = 0. Этот результат качественно отличается от детерми-

нированной задачи, где решение всегда стремилось к x = 1. Причина

подобного поведения состоит в следующем. Снос уравнения имеет точ- ку устойчивого равновесия x = 1. Она не да¼т процессу при блуждании

уходить далеко вверх. В результате происходят колебания вокруг равновесного уровня, в процессе которых, рано или поздно, процесс оказывается в значении x = 0. В этот момент снос и волатильность в уравнении

обращаются в ноль, и, несмотря на наличие стохастического члена, дальнейшее изменение x прекращается, так как dx = 0.

Значение x = 0 является точкой неустойчивого равновесия, и малей-

шее внешнее возмущение может решение с не¼ столкнуть, в том числе и в область x < 0. Поэтому, вообще говоря, логистическое уравнение

необходимо дополнить граничным условием в x = 0.

Если в качестве начального условия выбрать асимптотическое значе- ние x0 = 1 , то при небольших среднее сначала несколько увеличится,

а затем начинает асимптотически приближаться к x = 1 .

3.4Ряды для средних по степеням t

Решение обыкновенного дифференциального уравнения можно представлять в виде ряда по степеням t. Аналогично будем поступать и в

стохастическом случае, однако в ряд разложим непосредственно средние величины.

Для уравнения Ито:

dx = a(x; t) dt + b(x; t) W

возьм¼м первую итерацию от начального условия x0 = x(t0):

p

x = x0 + a(x0; t0) (t t0) + b(x0; t0) " t t0:

Учитывая " = 0 è "2 = 1, вычислим, с точностью до линейного приближения по t t0, среднее значение и среднее квадрата:

x = x0 + a(x0; t0) (t t0) + :::

Соответственно, дисперсия процесса в этом приближении будет равнаx2(t) = b2(x0; t0) (t t0) + ::. Чтобы получить дальнейшие члены разло-

жения, воспользуемся динамическим уравнением для средних.Для определ¼нности рассмотрим логистическое уравнение:

p

dx = x (1 x) dt + 2 x W:

В этом случае:

Найд¼м коэффициент f. Для этого подставим разложения в уравнение для среднего:

_ 2 x = x x ;

ограничившись первым порядком по t:

x0 (1 x0) + 2 f t + ::: = x0 (1 x0) + x0 1 (3 + 2 )x0 + 2x20 t + :::;

откуда:

Аналогично находятся следующие коэффициенты разложения.

Естественно, можно строить разложения не только в виде ряда по t. Достаточно универсальным является метод последовательных при-

ближений. Его идея в следующем. Выберем некоторые функции n;0(t), являющиеся нулевым приближением для xn , òàê, ÷òî n;0(0) = xn0 . Ïîä- ставляя их в правые части уравнений для средних, получаем дифферен-

циальные уравнения. Решая их, мы найд¼м более точное приближение для функции xn = n;1(t). При повторении этой процедуры будет по-

лучаться вс¼ более точное выражение для средних. При этом на каждой итерации необходимо использовать начальное условие n;k(0) = xn0 . ×åì

удачнее выбор n;0(t), тем быстрее будут сходиться к точному значению последовательные приближения, и тем шире диапазон t для их применимости.

Рассмотрим логистическое уравнение:

x_n = n (1 + (n 1) ) xn n xn+1 :

В простейшем случае можно выбрать n;0(t) = xn0 . Тогда в первом при- ближении:

_n;1 = n (1 + (n 1) ) xn0 nxn0+1;

откуда:

n;1 = xn0 + xn0 [1 + n(1 x0) + n(n 1) ] t;

и т.д. В результате снова получаются степенные ряды по t, в которых коэффициенты разложения единым образом выражаются через n для любого xn .

Другой вариант выбора нулевого приближения n;0 = xn0 e nt. Â ýòîì случае:

n;1 = xn0 + xn0 [1 + (n 1) ] 1 e nt n +n 1 xn0+1 1 e 2nt :

В качестве нулевого приближения можно выбрать решение детерминированного уравнения. Тогда последовательно получаемые приближения окажутся рядами по величине волатильности стохастического шума .

3.5Квазидетерминированное приближение

Рассмотрим одномерное уравнение Ито:

dx = a(x; t)dt + b(x; t) W

в котором из функции b(x; t) явным образом выделен параметр волатильности процесса . Его мы будем считать малым. Пусть функция c(t) является решением детерминированного уравнения:

Введ¼м новый процесс отклонения от детерминированного решения:

z = x c(t):

В силу Леммы Ито он удовлетворяет уравнению:

dz = 1 [a(c + z; t) a(c; t)] dt + b(c + z; t) W;

где вместо c мы подставили правую часть уравнения (3.18).

Запишем уравнение для средних (3.3), ñòð. 78, выбрав F = zn:

Детерминированное решение c(t) нам известно и определяет функции времени Ak = Ak(t), Dk = Dk(t). Òàê êàê A0 = a(c(t); t), то в квадратных скобках уравнения для средних коэффициент A0

имеем:

1 = 1, откуда zi0 = 0 ïðè i > 0 è z00 = 1.

Подставим разложение (3.20) в уравнение (3.19). В результате:

степенях и опуская штрихи у индексов, получаем систему уравнений:

Выпишем несколько е¼ первых уравнений:

z01(t) = A1 z01

z02(t) = 2A1 z02 + D0 z03(t) = 3A1 z03 + 3 D0 z01 z04(t) = 4A1 z04 + 6 D0 z02

:::

z11(t) = A1 z11 + A2 z02

z12(t) = 2A1 z12 + 2A2 z03 + D1z01

z13(t) = 3A1 z13 + 3A2 z04 + 3D0 z11 + 3D1z02

:::

z21(t) = A1 z21 + A2 z12 + A3 z03

z22(t) = 2A1 z22 + 2A2 z13 + 2A3 z04 + D1z11 + D2z02

:::

z31(t) = A1 z31 + A2 z22 + A3 z13 + A4 z04; :::

Так как начальные условия учтены в детерминированном решении x0 =

c(t0), то для процесса z(t) они имеют вид z(t0) = 0. Соответственно равны нулю и все средние zn ïðè t = t0. Систему уравнений (3.21) можно решать как аналитически, так и численно, используя конечные приращения для производных по времени.

Если в задаче при t ! 1 возможен стационарный режим, в котором

zin = 0, то, приравняв левые части уравнений к нулю, получим систему с постоянными коэффициентами Ak = Ak(1), Dk = Dk(1), которая легко решается. В частности:

Особенно удобен этот способ вычисления средних в многомерном случае, когда стационарное уравнение Фоккера-Планка решить сложно.

В качестве примера рассмотрим сначала точно решаемую задачу логарифмического блуждания:

dx = x dt + x W:

Как известно (стр. 58), средние значения имеют вид:

Так как уравнение линейно по x, детерминированное решение c(t) совпа-

дает с выражением для среднего. Ненулевые значения коэффициентов разложения сноса и дисперсии имеют вид:

A1 = ; D0 = x20 e2 t; D1 = 2x0e t; D2 = 1:

В результате ряды обрываются, и уравнения принимают вид:

zn = n zn + n(n 1) hx2 e2 t zn 2 + 2x0e t zn 1 + zn i:

i i 2 0 i i 1 i 2

Среднее значение (n = 1) для любой i-й поправки удовлетворяет урав-

Âитоге получаем разложение в ряд по точного решения.

Найд¼м теперь стохастические поправки к детерминированному решению для более сложного логистического уравнения:

dx = x (1 x) dt + x W:

Его детерминированное решение имеет вид (см. стр. 10): c(t) = 1 e t 1;

ãäå = 1 x0 1. Ненулевые коэффициенты разложения сноса и дисперсии равны:

В асимптотическом пределе t ! 1 детерминированное решение c(t) стремится к единице, и полученные выше выражения для hzi, z2 âîñ- производят точные значения для среднего и волатильности (3.13), còð.89.

В произвольный момент времени первое уравнение системы для средних (3.21) имеет вид:

z01(t) = 1 2c(t) z01(t) => z01(t) = (1 e t)2 :

Так как z(0) = 0, то, следовательно, константа интегрирования z0 ðàâ- на нулю, и, соответственно, поправка к z, пропорциональная , также

равна нулю z01(t) = 0. Аналогично равны нулю z13(t) = z12(t) = z21(t) = 0. Ведущий член для z2 подчиняется уравнению

z02(t) = 2 1 2c(t) z02(t) + c2(t);

решение которого с начальным условием z02(0) = 0 имеет вид:

Наконец, первая поправка к среднему значению равняется:

Дальше члены разложения становятся достаточно громоздкими. Привед¼м их вид, когда = 0, т.е. начальное значение стохастического процес-

са стартует с асимптотически равновесного уровня x = 1. В этом случае среднее значение для x с точностью до 4 равно:

Мы видим, что сложность аналитических выражений достаточно быстро увеличивается. Для практических целей иногда имеет смысл использовать численное решение системы дифференциальных уравнений. В этом случае при небольших мы будем получать средние значения быстрее,

чем при использовании Монте-Карло моделирования.