Стохастическое общество |
217 |
Âåñ wi(t) каждой акции в портфеле и удельное потребление c(t) задаются инвестором. В результате функции f(t) и s(t) в уравнении (8.5) являются фиксированными. Переходя к ln при помощи леммы Ито,
имеем: |
f(t) 2s2 |
(t) dt + s(t) W: |
||
d ln = |
||||
|
|
1 |
|
|
Откуда, воспользовавшись (2.18), ñòð. 56, получаем точное решение:
t |
2 t |
31=2 |
ln 0 |
= Z |
f( ) 2s2 |
( ) d + |
|
Z |
s2( )d "; |
|||
(t) |
|
1 |
|
4 |
|
5 |
|||
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
||
где, как обычно, " - гауссова случайная величина с h"i = 0 и "2 = 0.
Постоянное изъятие сумм v = c(t) (t) обладает для инвестора определ¼нной полезностью (utility) U = U(v). Это понятие достаточно умо-
зрительно, но очень популярно в экономической литературе. Основные гипотезы теории полезности состоят в том, что 1) функция U(v) явля-
ется выпуклой, и 2) она раст¼т медленнее линейной функции. Каждая дополнительная единица благ (выраженная в деньгах v), в любом слу-
чае, приносит удовольствие. Однако больше двух котлет не съешь и пяти бутылок вина не выпьешь. Поэтому постепенно, с увеличением v, до-
полнительной полезности получается вс¼ меньше, и рост функции U(v)
замедляется. Часто функцию полезности выбирают в степенном виде U(v) = v , с параметром 0 < < 1 или в логарифмическом U(v) = ln v.
Рассмотрим вариант степенной зависимости.
Вычислим среднее значение полезности Ut = hU(v)i = c (t) h (t)i в момент времени t. Усреднение проводится при помощи (1.11) íà ñòð. 16:
|
|
|
t |
|
|
t |
|
Ut = 0 c |
|
(t) e |
f( ) d + |
2 |
|
R |
s2( ) d |
|
R |
2 |
: |
||||
|
|
0 |
0 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
Подставляя явный вид функций f(t) и s(t), имеем:
|
|
t |
" |
n |
|
|
|
|
1 |
2 |
n |
|
|
|
|
|
# |
t |
0 |
|
i i |
|
i |
|
ij |
j |
|
||||||||
U |
= c (t) exp |
|
|
! ( ) |
|
c( ) |
|
|
w |
( )D |
|
w |
( ) |
d : |
|||
|
X |
|
|
|
X |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Z |
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
i;j=1 |
|
|
|
|
|
|
Выбор определ¼нных стратегий инвестирования !i( ) и изъятия (потребления) c( ) на протяжении времени = [0:::t] приводит к некоторому среднему значению полезности в момент времени t. Однако получение
максимальной сиюминутной полезности также не является главной целью инвестора. Так в ч¼м же смысл его жизни?
218 |
Глава 8. |
По Мертону и Самуэльсону, инвестор должен максимизировать сум-
марную дисконтированную полезность, получаемую на протяжении всей своей жизни. И если он не законченный эгоист, дополнительную полезность он получает от остаточного капитала, передаваемого по наследству. Математически это может быть выражено в следующем виде:
T |
e U d + e T UT + |
T |
( ) "1 |
n |
wi( )# d = max: (8.6) |
Z |
|
Z |
|
i=1 |
|
0 |
|
0 |
|
X |
|
Первый интеграл суммирует все получаемые от изъятий средние полезности Ut. При этом параметр аналогичен ставке дисконтирования де- нежных потоков (l C31). Чем позже получено удовольствие, тем меньше его вклад в смысл жизни. Второе слагаемое является полезностью завещаемого инвестором капитала (bequest valuation function) в финальный момент его жизни T . Параметр характеризует степень его не эгоистич-
ности, и обычно предполагается небольшим 0 < 1 ^• . Полезность от
завещания имеет такую же функциональную форму, как и от потребления. В принципе, можно рассмотреть и другие зависимости. Последнее слагаемое появляется в соответствии с методом множителей Лагранжа(t) (стр. 318). Мы ищем экстремум при дополнительном требовании
равенства суммы весов единице в каждый момент времени.
Найд¼м экстремум (стр. 320) функционала (8.6) по функциям (t) и !k(t) (l H47):
8 |
n |
|
> |
1 = Xwi |
|
> |
|
|
> |
|
|
> |
|
|
< |
i=1 |
(8.7) |
|
n |
|
> |
X |
Dki!i; |
= k (1 ) |
||
> |
|
|
> |
|
|
> |
|
|
: |
i=1 |
|
|
|
где пропорциональна множителю Лагранжа и должна рассматриваться как n + 1-я неизвестная переменная. Зависимость от времени от-
сутствует, и wi определяются из решения системы линейных уравнений. Теперь можно упростить выражение для средней полезности:
|
|
t |
|
zt |
|
|
c( ) |
Ut = 0 e c (t) G(t); |
G(t) = e |
0 |
; |
R |
где величина z:
n |
2 |
n |
z = ! |
w D w |
|
Xi |
2 |
X |
i i |
i ij j |
|
=1 |
|
i;j=1 |
зависит от статистических параметров акций, функции полезности и найденных из (8.7) постоянных весовых коэффициентов !i.
Стохастическое общество |
219 |
После подстановки оптимальных значений весов !i функционал для оптимизации принимает вид:
T
Z
e(z ) c ( ) G( ) d + e(z )T c (T ) G(T ) = max: |
(8.8) |
0
Проварьируем его (l H48) по функции удельного потребления c(t):
T |
|
c 1(t) e(z )t G(t) Zt |
e(z ) c ( ) G( ) d e(z )T c (T )G(T ) = 0: |
Это интегральное уравнение относительно c(t). Положив t = T , получа- ем граничное условие c(T ) = 1= . Если взять производную по времени,
интегральное уравнение перейд¼т в обычное уравнение логистического типа (1.2), ñòð. 10, с решением (при 6= 0 и c(T ) = 1= ):
c = c + c2 |
=> c(t) = |
|
: |
(8.9) |
|
||||
1 + ( 1) e (t T ) |
где = ( z)=(1 ). Важным следствием (8.7) è (8.9) является то, что выбор портфеля не зависит от решения по стратегии изъятий.
Рассмотрим частный случай, когда инвестору доступны только два актива депозит с фиксированной доходностью rf и акция с волатиль- ностью и доходностью r. Доля средств размещаемых в депозите, равна !1 = 1 !, а в акциях !2 = !. Матрицы дисперсий Dij, доходности i è весов !i имеют вид:
0 |
2 |
|
|
r |
|
! |
|
||
D = 0 |
0 |
; |
|
= rf ; |
! = 1 ! : |
||||
Решая систему (8.7), получаем: |
|
|
|
||||||
! = |
|
r rf |
; |
z = rf + |
|
(r rf )2 |
: |
||
(1 ) 2 |
2 (1 ) 2 |
||||||||
|
|
|
|
||||||
Мы видели (8.3), что в данном случае эффективное множество является прямой, соединяющей точки (0; rf ) и ( ; r). Выбор распределения средств между этими двумя активами выглядел абсолютно произвольным. Теория Мертона связывает значение веса ! и выпуклости полез-
ности . Более подробный анализ теории пожизненного инвестирования целесообразно проследить по классической работе Мертона.