2.6Представление решений

Мы записываем решения стохастических уравнений с начальным

условием x0 = x(t0) при помощи одной или нескольких случайных вели- чин " и гладкой функции времени: x(t) = f(x0; t0; t; "). Так как свойства " обычно хорошо известны, такое представление позволяет легко

находить разнообразные средние и марковскую плотность условной вероятности P (x0; t0 ) x; t).

Сама по себе функция f не позволяет нарисовать одиночную траекторию. Если мы сгенерим некоторое конкретное число "~, то x(t) не будет графиком случайного процесса. Это обычная гладкая функция. Напри-

Никаких изломов, типичных для случайного процесса, тут, конечно, нет. Дело в том, что для получения свойств x(t) в каждый момент времени

необходимо генерить различные случайные числа ".

Тем не менее, благодаря марковости процессов начальные условия (x0; t0) могут быть значением случайной функции на любом этапе эволюции. В частности, мы можем записать следующую цепочку решений:

где интервалы времени ti ti+1 произвольны. Так как случайные переходы от одного момента времени (xi; ti) к следующему (xi+1; ti+1) íå ïå- рекрываются, случайные числа "1, "2, "3,.. являются статистически независимыми. Это позволяет вычислять средние, относящиеся к различным моментам времени, и строить выборочные траектории. При этом возникают последовательности вложенных функций, например:

x2 = f(f(x0; t0; t1; "1); t1; t2; "2):

В случае винеровского блуждания, выбирая равный интервал между последовательными моментами времени, мы получим:

Xt p xt = x0 + "k :

k=1

Хотя выражение для xt похоже на итерационную схему, это, на самом деле, точное соотношение, и может быть сколь угодно большим.

Изучая стохастические дифференциальные уравнения, можно ис-

пользовать различный язык и различные математические конструкции. Кратко перечислим основные подходы к представлению решений стохастических уравнений, их сильные и слабые стороны.

B Плотность вероятности является базовым и наиболее общим язы-

ком описания случайных функций. Так как мы ограничились классом марковских процессов, знание вероятности перехода P (x0; t0 ) x; t) между двумя точками позволяет записать вероятность всей траектории. В результате можно вычислять разнообразные средние, и т.п. Чтобы найти P (x0; t0 ) x; t), необходимо решить дифференциальное уравнение в частных производных, которое мы рассмотрим в четв¼ртой главе. Недостатком этого подхода является то, что получение конечного результата иногда требует более кропотливых вычислений, чем в рамках других методов. Примером тому служит описание процесса Орнштейна-Уленбека или процесса Феллера (стр. 82).

B Уравнения для средних мы рассмотрим в следующей главе. Если

целью исследования является поиск различных средних значений стохастического процесса, то решение этих уравнений может оказаться самым прямым и простым способом. Дифференциальные уравнения для средних часто приводят к полезным соотношениям в асимптотическом пределе t ! 1 и удобны при построении приближ¼нных методов. Кроме

ограниченности получаемых результатов, недостаток подхода в том, что эти уравнения оказываются замкнутыми лишь для относительно узкого класса задач.

B Сведение к известному процессу является очень распростран¼нным подходом. Обычно при этом используется винеровский процесс W (t) с хо-

рошо изученными и простыми свойствами. Например, логарифмическое блуждание x(t) = x0 expf( 2=2)t + W (t)g явным образом демон-

стрирует деформацию винеровского процесса W (t) в процесс x(t). По-

добные решения ищутся при помощи леммы Ито и подходящей замены. Достоинством подхода является быстрота получения конечного результата (когда это возможно). Кроме этого, мы имеем простую запись для выборочных траекторий. Например, можно сгенерить конкретную тра-

екторию W (t) и, подставив е¼ в x t; W (t) , получить выборочную траек- торию процесса x(t). Недостатком подхода является то, что для многих

не очень просто. Так, уже для процесса Орнштейна-Уленбека в аргументе функции W (t) необходи-

мо дополнительно деформировать время, а процесс Феллера вообще не имеет простого представления при помощи W (t).

B Стохастические интегралы это наиболее популярный способ как

строгого обоснования стохастических уравнений, так и записи их решения при помощи специфических обозначений. Стохастические интегралы являются достаточно нетривиальной математической конструкцией. Несмотря на то, что это очень красивая и мощная техника, иногда получаемые с е¼ помощью результаты оказываются формальными, и воспользоваться ими для вычисления, например, средних или плотности вероятности не представляется возможным. Мы будем обсуждать стохастическое интегрирование в пятой главе.

B Скалярные случайные величины широко используются в этой книге. Стохастичность функции x(t) можно придать при помощи обычной случайной величины ", не являющейся процессом, и гладкой функции времени. Величина " имеет определ¼нное распределение. Чаще всего оно

гауссово, однако в общем случае это не обязательно. Дальше мы увидим, что простую форму решению для некоторых процессов можно придать, только используя две или более случайные величины, имеющие совместную плотность вероятности. Запись решения в виде x = f(x0; t0; t; ")

позволяет легко находить различные средние. Кроме этого, функция f

эквивалентна заданию в неявной форме марковской плотности вероятности P (x0; t0 ) x; t). Действительно, при помощи среднего от произволь-

ной функции F (x) можно сделать преобразование, например, от гауссовой переменной " к x (значения начальных условий x0, t0 опущены):

где P (") распределение Гаусса. Проводя во втором интеграле обратную замену x = f(t; "), мы переходим к первому интегралу, и, следовательно, плотность вероятности случайного процесса в момент времени t равна:

где g(x; t) обратная к x = f(t; ") функция, т.е. " = g(x; t).

В заключение выскажем очевидную истину. Использование того или иного языка должно диктоваться в первую очередь соображением простоты. В зависимости от того, какие задачи решаются, более адекватным может оказаться любой из перечисленных выше подходов.