8.7Кривая доходности

Пусть B( ; t) это стоимость бескупонной облигации (векселя) в

момент времени t с датой погашения te, т.е. через интервал = te t. Будем считать, что е¼ номинальная стоимость равна единице, и, следовательно, B(0; te) = 1. Бескупонная облигация эквивалентна депозиту с единичной стоимостью в конце. Функция B( ; t) при этом обознача-

ет сумму B( ; t) < 1, которую необходимо разместить на депозите под ставку r( ; t), чтобы через время его величина равнялась единице.

Процентный доход облигации в момент времени t равен:

Функция двух аргументов r( ; t) является ставкой заимствования на срок = te t в момент времени t. По мере приближения t к дате погаше- íèÿ te стоимость облигации возрастает, стремясь к своему номинальному значению, но делает это неравномерно, так как может изменяться и ставка.

В фиксированный момент времени t функция r = r( ; t), зависящая от времени до истечения , называется кривой доходности (yield

curve). Она определяет временную структуру процентных ставок (term structure of interest rates). Если на рынке присутствуют облигации (депозиты) с различными длительностями обращения 1; 2; ::, то, вычисляя их эффективные доходности, мы получим, вообще говоря, различные значе- ния процентных ставок r1; r2; ::. Их совокупность и формирует кривую доходности r .

Кривая доходности постоянно изменяется r = r (t). Она может сдвигаться вверх или вниз, когда все ставки изменяются на одну величину, или определ¼нным образом изгибаться. Прогнозирование формы кривой доходности является исключительно важной задачей для всех участников финансовых рынков.

Краткосрочной процентной ставкой (short term rate) r0(t) называют значение процентной ставки в момент времени t с истечением де-

позита тут же : r0(t) = r(0; t). Естественно, мгновенных депозитов не бывает, однако, если аппроксимировать реальные данные для значений r некоторой гладкой функцией, то обычно она имеет ненулевое значе- ние в точке = 0. Хорошим аналогом краткосрочных ставок является

рынок банковских ночных заимствований для поддержания резервных требований Национального банка.

Рассмотрим пример простой однофакторной модели описания кривой доходности. В ней предполагается, что динамика цен B(t; te) векселя с датой истечения te полностью определяется динамикой краткосрочной ставки r0(t) = r(0; t). Она является единственным фактором, задающим кривую доходности. Напомню, что, если нам известна функция двух аргументов B(t; te), то фактически известны и форма кривой доходности r (t) = r( ; t), где = te t, и е¼ эволюция t.

Рассмотрим портфель, состоящий из двух бескупонных облигаций с датами погашения t1 è t2. Пусть отношение суммы, на которую куплен первый вексель B1 = B(t; t1), ко второму B2 = B(t; t2) равно коэффициенту . При этом второй вексель продан (куплен в короткую). В случае банка можно рассматривать выданный кредит со сроком 1 = t1 t и полученный депозит на 2 = t2 t. Суммарный портфель равен:

= B1 B2:

Âрамках однофакторной модели предполагается, что стоимость облигаций зависит от краткосрочной процентной ставки B = B(r0; t te),

которая, в свою очередь, подчиняется стохастическому процессу:

dr0 = (r0; t) dt + (r0; t) W:

В этом случае стоимость портфеля также будет случайной величиной, и в силу леммы Ито его изменение равно:

Выберем долю таким образом, чтобы изменение портфеля не зависело от стохастической компоненты W :

Тогда члены, пропорциональные W , сократятся, и динамика портфеля

окажется полностью детерминированной. Если цена некоторого безрискового актива (в нашем случае портфеля из двух облигаций) гарантированно изменяется на d :

d = r0(t) dt;

то это изменение пропорционально краткосрочной процентной ставке.

Приравняем левые части этого соотношения и уравнения, полученного по лемме Ито, подставив значение для (8.20):

Левая часть выражения зависит от t1, а правая от t2. Îáå ýòè äàòû независимы, поэтому уравнение будет выполняться, если его части равны некоторой функции, которая не зависит от времени истечения облигации. Е¼ принято выбирать пропорциональной функции , в следующем

âèäå (r0; t) (r0; t). Поэтому окончательно имеем:

ãäå B = B(r0; t; te), = (r0; t), = (r0; t) è = (r0; t). Это уравнение определяется двумя функциями волатильностью процентной ставки (r0; t) и сносом с устран¼нным риском (risk adjusted drift): (r0; t)

(r0; t) (r0; t). После их задания можно определить зависимость от времени облигации с произвольной датой истечения te, а, следовательно, и кривую доходности. Е¼ форма будет полностью определяться одной точ- кой текущим значением краткосрочной процентной ставки r0.

Для решения дифференциального уравнения требуется задание на- чального условия. В случае с облигацией оно выбирается в следующем виде: B(r0; te; te) = 1, так как в момент истечения стоимость облигации равняется единице.

Заметим, что в приведенных выше рассуждениях функция B, вообще

говоря, могла быть ценой самых разнообразных финансовых инструментов, поведение которых тесно связано с поведением процентной ставки. Например, это может быть колл-опцион на краткосрочную процентную ставку с датой истечения te и страйковой ценой K. Для него начальные условия будут иметь следующий вид: B(r0; te; te) = max(r0(te) K; 0). В случае с опционами американского типа, кроме этого, необходимо накладывать граничные условия.

Несмотря на теоретический характер рассмотрения динамики кривой доходности, мы имеем существенно феноменологическую составляющую в лице неизвестных функций, являющихся коэффициентами в уравнении (8.21). Рассмотрим один из примеров их выбора.

Известная модель Васичка (Vasicek, 1977) получается, если задать

стохастическую динамику для блуждания краткосрочной процентной ставки в виде процесса Орнштейна-Уленбека (стр. 60):

dr0 = (r0 ) dt + W;

где , , константы модели. В рамках модели предполагается, что

функция (r0; t) = также является некоторой константой. В результате уравнение для цены облигации:

зависит от тр¼х параметров модели , , = и начального условия B(te; te) = 1 (l C33).

Перейд¼м к времени = te t, оставшемуся до истечения облигации, и введ¼м процентную ставку B(r0; ) = e r(r0; ) , которая ассоциирует-

ся с данной облигацией (кривую доходности). Эта кривая определяется единственным фактором r(r0; ) краткосрочной процентной ставкой. В результате:

При решении этого уравнения необходимо учитывать начальное усло- âèå r(r0; 0) = r0, имеющее смысл равенства процентной ставки е¼ краткосрочному значению, когда до истечения облигации времени уже не осталось. Прямой подстановкой можно проверить, что решением уравнения (8.23) является следующее выражение:

где введены обозначения r1 = = 2=2 2 è:

При малых справедливо приближ¼нное соотношение b( ) .

Несложно видеть, что решение (8.24) удовлетворяет начальному условию r(r0; 0) = r0, а при ! 1 равняется r(r0; 1) = r1. В данной модели

ультрадолгосрочная процентная ставка r1 не зависит от текущего значе- ния краткосрочной ставки r0 и определяется только е¼ стохастическими параметрами , , и константой .