Вероятности

4.1Марковские плотности вероятности

Верн¼мся к винеровскому процессу с нулевым сносом = 0 и единичной волатильностью. Так как случайная функция x(t) зависит от гауссовой переменной ":

то, воспользовавшись распределением Гаусса (см. стр. 67), можно записать условную плотность вероятности в виде:

Она равна бесконечности при x = x0 и нулю в других точках, так, что интеграл по x в окрестности x0 равен единице (см. Приложение М, стр. 315). Функции Дирака равна любая условная плотность вероятности при t = t0. Действительно, в бесконечно близкий к t0 момент времени от- лична от нуля только вероятность в окрестности начального значения

xx0.

Êдельта-функции Дирака при t ! t0 стремится также условная плотность вероятности Коши:

Интеграл от этой функции по x равен единице, среднее значение x0. Îä- нако моменты второго и более высоких порядков равны бесконечности. Соответственно равна бесконечности волатильность. В результате становятся вероятными очень большие выбросы случайных чисел. Подобные процессы называются процессами со скачками. У колокола распределения существует типичная ширина, пропорциональная t t0. Ïî ìåðå удаления от начального момента времени происходит расплывание распределения вероятностей и очень быстрый уход процесса от начального значения x0. Поэтому в теории диффузных процессов мы не рассматриваем распределение Коши, хотя, как мы увидим чуть ниже, оно является марковским.

Плотность вероятности марковских процессов должна удовлетво-

рять определ¼нным уравнениям. Рассмотрим три последовательных момента времени t1 < t2 < t3, в которых x(t) принимает значения x1, x2 è x3. Совместная плотность вероятности для x1 è x3 равна:

Z

P (x1; x3) = P (x1; x2; x3)dx2; (4.4)

где для краткости опущены времена ti. Â (4.4) мы суммируем все возмож- ные реализации промежуточного значения x2. В результате из трехто- чечной совместной плотности вероятности получается двуточечная. Подставим в левую часть P (x1; x3) = P (x1) P (x1 ) x3) определение условной вероятности, а в правую, с уч¼том марковости процесса, тр¼хточеч- ную плотность вероятности (см. (1.42), íà ñòð. 37):

P (x1; x2; x3) = P (x1) P (x1 ) x2)P (x2 ) x3):

Восстанавливая времена, получаем:

Z

P (x1; t1 ) x3; t3) = P (x1; t1 ) x2; t2) P (x2; t2 ) x3; t3) dx2: (4.5)

Это интегральное уравнение Чепмена-Колмогорова . В качестве упражне- íèÿ (l H24) имеет смысл проверить, что этому уравнению удовлетворяет гауссова плотность вероятности (4.1). Второе упражнение ( l H25) состо- ит в записи уравнения Чепмена-Колмогорова для характеристических функций, если P (x0; t0 ) x; t) = P (x x0; t t0), и проверке марковости распределения Коши (4.3).

Уравнению Чепмена-Колмогорова должны удовлетворять любые вероятности марковских процессов. Правда в таком виде оно слишком общее, и нам нужны его более конкретные представления. В уравнении (4.5) времена t1; t2 è t3 могут быть удалены друг от друга как угодно далеко. Однако особый интерес представляет ситуация бесконечно близких врем¼н. В результате глобальные свойства P (x0; t0 ) x; t) определяются из решений локальных дифференциальных уравнений. Так как условная плотность вероятности имеет две пары аргументов, то возможны, по крайней мере, два уравнения относительно fx0; t0g è fx; tg. Èç (4.5) в следующем разделе мы получим уравнение относительно fx0; t0g, которое называется первым уравнением Колмогорова. Аналогично выводится уравнение Фоккера-Планка, или второе уравнение Колмогорова относительно fx; tg. Мы найд¼м его при помощи стохастического диффе-

ренциального уравнения. Этот вывод покажет непосредственную связь двух математических аппаратов.

4.2Уравнения для P (x0; t0 ) x; t)

Найд¼м уравнение относительно переменных начального значения

x0, t0. Для этого воспользуемся уравнением Чепмена-Колмогорова. Чтобы возникла производная по времени t0, необходимо рассмотреть t0 è бесконечно близкое к нему время t0 + t. Поэтому для тр¼х последовательных моментов времени в интегральном уравнении возьм¼м два соседних t1 = t0, t2 = t0 + t и одно будущее t3 = t:

Интервал t мал и, следовательно, величина y, соответствующая мо-

менту времени t0 + t, должна быть близка к x0 в момент времени t0. Поэтому разложим в ряд Тейлора по y x0, в окрестности точки y = x0, второй множитель под интегралом:

ãäå P = P (x0; t0 + t ) x; t). Вынесем множители, не зависящие от y, за знак интеграла. Опуская пределы интегрирования, запишем:

Первое слагаемое соответствует условию нормировки (переход хоть куданибудь ), и интеграл равен единице. В результате получается просто P .

Перенес¼м направо P (x0; t0 ) x; t) и разделим обе части на t. По определению, при t ! 0 мы можем записать:

что приводит к производной по начальному моменту времени t0.

Интегрирование по y во втором и третьем слагаемых да¼т условные средние моментов первого и второго порядков:

Если бы мы продолжили разложение в ряд Тейлора, то в этом уравнении стояли бы также моменты более высоких порядков (x x0)3 , è ò.ä.

Однако для диффузных процессов они по определению в пределе t ! 0 равны нулю (см. стр. 50).

Средние значения, как обычно, вычисляются при помощи условной плотности вероятности ( t ! 0):

1

Z

h (x x0)mi = (x x0)m P (x0; t0 ) x; t0 + t) dx:

1

При вычислении предела t ! 0 сначала необходимо проинтегрировать, вычислив среднее, затем полученную функцию от t разделить на t, и только после этого устремить к нулю t ! 0.

Мы видим, что снос и диффузия естественным образом появляются как в уравнениях для плотности вероятности случайного процесса, так и в стохастических дифференциальных уравнениях при записи их через разности.

В результате, вводя коэффициенты сноса и диффузии, получаем первое уравнение Колмогорова :

ãäå P = P (x0; t0 ) x; t). Заметим, что производные в этом уравнении берутся не по будущим аргументам x и t, а по начальным x0 è t0.

Если значение x0 = x(t0) задано точно, то первое уравнение Колмогорова необходимо решать с начальными условиями в виде дельтафункции Дирака:

Естественно, кроме этого предполагается наличие тех или иных гранич- ных условий. В простейшем случае требуют достаточно быстрого убывания плотности вероятности при увеличении разности x x0

момент времени t > t0.

Выведем теперь второе дифференциальное уравнение для функции P (x0; t0 ) x; t) по будущим аргументам x; t. Пусть процесс Ито в момент времени t t имеет значение x. Спустя малый интервал времениt он будет иметь значение y:

p

y = x + a t + b " t; (4.8)

где a = a(x; t t), b = b(x; t t). Величина x является случайной с плотностью распределения P (x; t t) = P (x0; t0 ) x; t t). Слу- чайной и независимой от не¼ будет и " c гауссовой плотностью P ("). В результате y в момент t также будет случайной величиной.

и преобразовать его таким образом, чтобы получился однократный интеграл c F (y) в момент времени t. Обратим внимание, что, если в (4.8)

x, y и " это случайные величины, потенциально принимающие любые

значения, то в (4.9) они же выступают в виде обычных вещественных переменных интегрирования.

Так как t малo, разложим F (::) в ряд, оставляя члены порядка не более t:

Все функции справа вычислены в точке x и в момент времени t. Заметим, что в (4.8) функции вычислялись в момент времени t t. На самом

деле их тоже необходимо разложить по t. Однако эти ряды будут умно- p

жаться на t, t и окажутся малыми более высокого порядка. Поэтому

можно взять ведущее приближение разложения и считать в дальнейшем, что a = a(x; t), b = b(x; t).

Аналогично раскладывается плотность вероятности по t:

P (x; t t) = P (x; t) @P (x; t) t + :::

@t

Этим соотношением мы связываем плотности вероятности в два бесконечно близких момента времени, в результате чего в конечном уравнении появится частная производная по времени.

Подставим последние два разложения в (4.9), выдерживая порядок малости по t. Интегрирование по " сводится к h"i = 0, "2 = 1, è â

результате:

Во втором интеграле F = F (x), P = P (x; t). Первый интеграл представляет определение искомого среднего в момент времени t (переменная интегрирования x может быть переобозначена в y). Поэтому второй ин-

теграл должен быть равен нулю. Интегрируя по частям один раз второе слагаемое в квадратных скобках и два раза третье ( l C23), получим F (x), умноженную на выражение:

которое должно быть равно нулю (в силу произвольности F (x)). Это

уравнение Фоккера - Планка, или второе уравнение Колмогорова для плотности условной вероятности P = P (x0; t0 ) x; t).

Решение уравнения Фоккера-Планка позволяет найти плотность вероятности условного перехода. Имея е¼, мы фактически знаем о марковском случайном процессе вс¼. Можем вычислять его среднее, волатильность, автокорреляционную функцию и отвечать на другие вопросы.

Естественно, кроме начального условия (4.7), предполагается наличие граничных условий для плотности вероятности. Так как мы знаем, что в момент времени t0 значение x было равно x0, то спустя конечный ин- тервал времени цена или броуновская частица не могут заблуждать бесконечно далеко. Поэтому мы считаем, что плотность вероятности на бесконечности равна нулю. Это же требование возникает в силу условия нормировки:

1

Z

1

имеющего смысл вероятности перехода куда угодно .

Так как дифференциальное уравнение (4.10) линейно относительно функции P , то решение не изменяется при умножении P на произволь-

ную константу. Е¼ значение должно фиксироваться при помощи условия нормировки (4.11).

4.3Решение уравнения Фоккера-Планка

В качестве примера решения уравнения Фоккера-Планка рассмотрим случай винеровского блуждания с a(x; t) = 0 и b(x; t) = :

Это уравнение теплопроводности с коэффициентом диффузии 2. Èìåí- но оно дало название диффузным процессам. Представим P (x; t) (аргу-

менты начальных условий опускаем) в виде фурье-интеграла (см. Приложение М, стр. 314):

1

Подставляя его в (4.12), получаем для (s; t) следующее уравнение:

При его решении возникает произвольная константа, для определения которой необходимо воспользоваться начальным условием:

Поэтому фурье-образ плотности вероятности при t = t0 должен быть равен (k; t0) = eix0k. В результате решение (4.14) имеет вид:

(k; t) = e 2k2(t t0)=2+ix0k:

Выполняя интегрирование (4.13) при помощи интеграла (14), ñòð. 312, приходим к гауссовой плотности условной вероятности:

Видно, ÷òî âîлатильность в гауссиане увеличивается с течением времени, как pt t0. Среднее значение равно начальному x0. Плотность вероят-

ности вокруг x0 симметрична и постепенно расплывается , увеличивая свою ширину. Таким образом, лучшим прогнозом будущего x будет его

начальное значение x0.

Аналогично можно решить уравнение Фоккера-Планка, соответствующее процессу: dx = f(t)dt + s(t) W (l H26), и несколько длиннее, при помощи метода характеристик (стр. 316), - для процесса ОрнштейнаУленбека: dx = (x ) dt + W (l H28).

Мы уже обсуждали в конце раздела x2.7, ñòð. 71, что начальные

условия могут быть заданы с некоторой вероятностью. Например, это происходит, когда учитывают неизбежные измерительные ошибки при определении x0 = x(t0). Возможны и более экзотические ситуации на- чальной неопредел¼нности.

С точки зрения решения уравнения Фоккера-Планка это означает, что начальное условие для плотности вероятности равно не дельта - функции Дирака, а некоторой задаваемой функции P0(x0). Для не¼ тоже можно записать фурье - преобразование:

При решении уравнения для винеровского блуждания с уч¼том этого начального условия мы имеем:

(k; t) = 0(k) e 2k2(t t0)=2:

Чтобы получить вероятность будущих значений x, необходимо вычис-

лить интеграл (4.13). Рассмотрим случай, когда начальные условия имеют гауссову форму:

где a - среднее значение, а b - волатильность (ошибка измерения x0). Â этом случае снова получится гауссова плотность P (x; t), зависящая от времени, но волатильность в ней будет заменена следующим образом:

2 (t t0) ! b2 + 2 (t t0):

Другими словами, неопредел¼нность в будущем значении x определяется начальной неопредел¼нностью b и привнес¼нной случайным блужданием 2 (t t0). Этот результат для волатильностей справедлив и в случае произвольного распределения P0(x0). Действительно, полагая t0 = 0, при помощи гауссовой случайной величины " N(0; 1) запишем решение ви-

неровского процесса: p

x = x0 + t ":

Считая x0 случайной величиной, получаем:

x2 = (x x)2 = D x0 x0 pt " 2E = (x0 x0)2 + 2 t;

где мы воспользовались независимостью будущего блуждания и начальных условий hx0"i = hx0i h"i = 0.