- •Случайные события
- •Стохастический мир
- •Случайные величины
- •Совместная и условная вероятности
- •Зависимость и независимость
- •Характеристическая функция
- •Модель аддитивного блуждания
- •Случайные процессы
- •Стохастические уравнения
- •Уравнение Ито
- •Остановка перед восхождением
- •Лемма Ито
- •Точные решения
- •Простые стохастические модели
- •Представление решений
- •Автокорреляция и спектр
- •Порождающий процесс Винера
- •Средние значения
- •Динамическое уравнение для средних
- •Процесс Феллера
- •Логистическое уравнение
- •Вероятности
- •Марковские плотности вероятности
- •Граничные условия
- •Стохастические интегралы
- •Площадь под траекторией Винера
- •Интегралы Ито
- •Интегрирование стохастических уравнений
- •Единственность решений
- •Метод последовательных приближений
- •Системы уравнений
- •Скоррелированные блуждания
- •Системы стохастических уравнений
- •Стохастический осциллятор
- •Линейные многомерные модели
- •Многомерие помогает одномерию
- •Как решать стохастические задачи?
- •Стохастическая природа
- •Теория броуновского движения
- •Стохастический осциллятор
- •Дрожание земной оси
- •Электронный шум
- •Хищники и их жертвы
- •Стохастическое общество
- •Финансовые рынки
- •Эмпирические закономерности
- •Диверсификация
- •Портфель на всю жизнь
- •Опционы
- •Кривая доходности
- •Компьютерное моделирование
- •Статистики
- •Случайные числа
- •Моделирование стохастических процессов
- •Ошибки вычислений и ускорение сходимости
- •Вычисление средних
- •R: Стохастический справочник
- •Основные соотношения теории
- •Системы уравнений с одинаковым шумом
- •M: Математические приложения
- •H: Помощь
- •C: Примечания
- •Рекомендуемая литература
130 |
Глава 5. |
5.2Интегралы Ито
Рассмотрим теперь ещ¼ одну возможность введения случайных инте-
гральных величин. В обычном анализе мы говорим об интеграле РиманаСтилтьеса, когда под дифференциалом стоит функция, а не обычная переменная интегрирования:
Z |
t |
n |
|
||
|
f(t) dg(t) = k=1 fk 1 (gk gk 1): |
|
t0 |
|
X |
Подобным образом можно определить и стохастический интеграл по изменению функции винеровского процесса W . Для этого рассмотрим n
бесконечно малых отрезков t (для простоты одинаковой длительностиt = tk tk 1), содержащихся в конечном интервале t. Предполагается, что n t = t при n ! 1 и t ! 0:
|
|
|
W3 |
f(t,Wt) |
|
|
|
|
|
|
|
W2 |
|
|
f0 |
W1 |
|
|
Wt |
W0 |
t |
|
t |
|
|
|
Значения винеровского процесса Wk = W (tk) на границах отрезков заданы суммой (5.1), ñòð. 124. Интеграл по изменению случайного винеровского процесса определим следующим образом:
Z |
t |
n |
|
|
|
|
|
Wk Wk 1 |
: |
(5.8) |
|||
|
f( ; W ( )) W = k=1 f tk 1; Wk 1 |
|||||
0 |
|
X |
|
|
|
|
В подынтегральной функции может находиться |
любой стохастический |
процесс, эволюция которого определяется винеровской траекторией Wt. Например, процессы Орнштейна-Уленбека или Феллера не выражаются в явной функциональной форме через Wt, но полностью ею определяют- ñÿ.
Стоит обратить внимание на тот факт, что значения функции под дифференциалом вычисляются на краях отрезков: tk = k t, а подынтегральная функция в его первой точке tk 1. Другими словами, в духе итерационного решения стохастического уравнения мы считаем, что сна-
чала реализуется случайное число Wk 1, а затем оно изменяется на ве- |
|||||
личину |
Wk = Wk Wk 1 |
= "k |
p |
|
. Вообще говоря, возможны и другие |
|
|||||
|
|
t |
определения стохастического интеграла.
Стохастические интегралы |
131 |
Винеровский процесс имеет нулевой снос a = 0 и единичную волатильность b = 1. Поэтому в силу леммы Ито (2.15), ñòð. 55, для его квадрата имеем следующее уравнение:
d(Wt2) = dt + 2Wt Wt: |
(5.9) |
Чтобы его формально проинтегрировать, мы должны определить:
2 Z |
t |
|
W W = Wt2 t: |
(5.10) |
|
0 |
|
|
Первое слагаемое в правой части выглядит естественным для обычных правил интегрирования, чего нельзя сказать о втором. Попробуем с ним разобраться. Для этого запишем представление интеграла в виде суммы:
n |
Wk 1 |
Wk Wk 1 |
|
n |
Wk2 1 |
Wk Wk 1 |
|
2i |
; |
2 k=1 |
= k=1 hWk2 |
|
|||||||
X |
|
|
|
X |
|
|
|
|
где выполнено элементарное алгебраическое преобразование, которое про-
ще проверить в обратном направлении. При суммировании W 2 W 2
k k 1
взаимно сокращаются, за исключением границ интегрирования. Так как на нижней границе W0 = 0, мы получаем Wt2. Для третьего члена:
Z |
t |
n |
|
|
|
n |
|
|
|
Wk Wk 1 |
2 |
"k2 |
t = u (n t) = u t: |
||||
|
( W )2 = k=1 |
= k=1 |
||||||
0 |
|
X |
|
|
X |
|
Вообще говоря, этот интеграл отличаpåòся от формулы (5.8), так как бесконечно малое изменение W = " dt стоит в квадрате. Для обычных
детерминированных функций подобнаяp сумма оказалась бы равной ну- лю. Однако благодаря фактору dt этот стохастический интеграл имеет
конечное значение. В разделе x2.2, ñòð. 52, мы видели, что величина
u = ("21 + ::: + "2n)=n при n ! 1 имеет нулевую волатильность u ! 0
и, следоâательно, является детерминированным числом со значением, равным u = 1. Фактически плотность вероятности P (u) при больших n
ýòî 2 - распределение (l C26) с очень узким и высоким максимумом
âокрестности единицы. Таким образом, стохастический интеграл:
t
Z
( W )2 = t; |
(5.11) |
0
равен детерминированной величине t, и мы приходим к (5.10). Часто
(5.11) записывают в символическом виде ( Wt)2 dt, что, вообще говоря, неверно. Например, интеграл от W ( W )2 не равен интегралу W d .
132 Глава 5.
Представим при помощи стохастического интеграла решение нестационарного уравнения Ито с нулевым сносом:
|
|
x(t) = x(0) + Z0 |
t |
dx = f(t) W |
=> |
f( ) W : |
Мы видели ( (2.18) ñòð. 56), что оно выражается через гауссову переменную " N(0; 1), поэтому:
t |
2 t |
31=2 |
ZZ
0 |
f( ) W = 4 |
0 |
f2( ) d 5 ": |
(5.12) |
Если подынтегральная функция зависит не только от времени, но и от винеровской переменной W , интеграл уже не будет иметь нормальное распределение. Однако, используя рассуждения на стр. 74, несложно убедиться, что для стохастического интеграла
|
|
|
It = Z0 |
t |
|
||
|
|
|
f( ; W ) W |
|
|||
дующее простое |
|
|
|
|
|
|
|
среднее равно нулю |
It |
= 0, а для среднего квадрата справедливо сле- |
|||||
|
соотношение: |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
t |
|
||
|
|
|
It2 = Z f2( ; "p |
|
) d : |
|
|
|
|
|
|
(5.13) |
|||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
То есть, чтобы вычислить It2 , необходимо возвести подынтегральную функцию в квадрат, усреднить, а затем проинтегрировать по . При
усреднении мы используем обычную случайную гауссову величину ", p
представляя W = " .
Повторив рассуждения на стр. 74, несложно записать среднее для произведения двух процессов I1(t1) è I2(t2) с различными подынтегральны- ми функциями f1 è f2 в различные моменты времени:
I1 |
(t1)I2(t2) = |
min(t1;t2) |
f1( ; "p )f2 |
( ; "p ) d : |
|
||||
Z |
(5.14) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
Соотношения (5.12)-(5.14) позволяют вычислять среднее и волатильность случайного процесса, если его решение выражено через стохастиче- ский интеграл. Ряд других полезных формул можно найти в приложенииСправочник , стр. 282.
Стохастические интегралы |
133 |
Используя определение стохастического интеграла в виде суммы
(5.8), аналогично обычному анализу можно доказать свойство линейности:
Z |
t |
|
t |
t |
|
f( ; W ) + g( ; W ) W = Z f( ; W ) W + Z g( ; W ) W ; |
|||
0 |
|
0 |
0 |
где и некоторые константы. Кроме этого, пределы интегрирования можно разбивать на несколько частей:
t3 t2 t3
Z Z Z
f( ; W ) W = f( ; W ) W + f( ; W ) W :
t1 t1 t2
Естественно, предполагается, что времена упорядочены t1 < t2 < t3.
Воспользуемся теперь леммой Ито для F (t; Wt), считая, что x(t) = Wt винеровский процесс с нулевым сносом и единичной дисперсией.
dF = |
@F |
+ |
1 |
|
@2F |
dt + |
@F |
W: |
|
|
|
|
|
|
|
||||
@t |
2 |
@W 2 |
@W |
Интегрируя левую и правую часть, можно записать интегральную версию леммы Ито (F0 = F (0; W (0))):
|
t |
|
|
|
1 @2F ( ; W |
|
|
t |
|
|
|
||||
F (t; Wt) F0 = Z0 |
|
@F ( ; W |
) |
|
) |
d + Z0 |
|
@F ( ; W |
) |
||||||
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W : |
|||
@ |
|
2 |
@W 2 |
|
|
@W |
|
|
Понятно, что в этом соотношении, как и во всех выше, нижний предел в интеграле может быть произвольным моментом времени t0. Åñëè ôóíê- ция F не зависит от времени:
F (Wt) F (0) = 2 |
t |
F 00(W )d + Z0 |
t |
(5.15) |
Z0 |
F 0(W ) W ; |
|||
1 |
|
|
|
|
где штрихи это производные по W . Это соотношение можно использовать для интегрирования по частям . Например, если F = W 2, имеем:
|
t |
t |
2 Z0 |
W W = Wt2 Z0 |
d = Wt2 t: |
Подобное сведение интеграла по W к интегралу по времени d в ряде
случаев бывает удобным. Однако, если подынтегральная функция при этом зависит от W , взять такой интеграл не проще, чем по W .
134 |
Глава 5. |
5.3Квадратичный функционал
Рассмотрим процесс, равный интегралу по времени от квадрата винеровской траектории:
Ut = Z |
t |
|
|
t2 |
||
W 2 d = "12 |
+ ("1 + "2)2 + ::: + ("1 + ::: + "n)2 |
|||||
|
; |
|||||
n2 |
||||||
0 |
|
|
|
|
где мы сразу положили n t = t. Введ¼м гауссовы случайные величины:
k = "1 + ::: + "k; h i ji = Dij = min(i; j):
Их матрица дисперсий D имеет единичный определитель det D = 1. Дей-
ствительно, вычитая из всех строк первую строку, затем из всех лежащих ниже второй вторую строку, и т.д., мы приходим к треугольной матрице с единичными элементами. Например, для n = 4 имеем:
det D = det |
01 |
2 |
2 |
21 |
= det |
00 |
1 |
1 |
11 |
= ::: = det |
00 |
1 |
1 |
11 |
: |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
B1 2 |
3 |
3C |
|
B0 1 |
2 |
2C |
|
B0 0 |
1 |
1C |
|
|||
|
B1 |
2 |
3 |
4C |
|
B0 |
1 |
2 |
3C |
|
B0 |
0 |
0 |
1C |
|
|
@ |
|
|
A |
|
@ |
|
|
A |
|
@ |
|
|
A |
|
Матрица D определяет плотность вероятности величин k (x1.6, ñòð. 30):
P ( 1; :::; n) = (2 ) n=2 e 12 D 1 :
Для скалярной случайной величины :
= |
Ut |
= |
12 + ::: + n2 |
; |
|
t2 |
|
n2 |
|||
|
|
|
|
найд¼м производящую функцию:
|
|
1 |
|
p |
2 |
2 |
|
|
1 e 21 A |
1 |
|
||||
ep |
|
= Z |
e |
|
( 1 |
+:::+ n)P ( 1; :::; n) dn = |
Z |
|
dn = |
p |
|
; |
|||
n2 |
|||||||||||||||
(2 )n=2 |
|||||||||||||||
|
det A |
||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
где матрица A размерности n x n равна: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
2p |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
A = |
|
1 + D 1: |
|
(5.16) |
|||||
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
Умножая обе части (5.16) на D и учитывая, что определитель произведения равен произведению определителей, а det D = 1, получаем:
ep |
= det 1 |
2p |
D |
1=2 |
|
: |
|||
n2 |
Нам необходимо найти предел этого выражения при n ! 1.
Стохастические интегралы |
135 |
Для матрицы D размерности n x n с элементами Dij = min(i; j) докажем следующее соотношение:
n!1 |
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 n2 D |
|
|
|
|
|||||
lim det |
|
|
|
|
|
= cos(x): |
|
|||
Несложно проверить, что обратная к D матрица является ленточной: |
||||||||||
|
0 1 |
2 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
|||
|
B |
2 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
||
|
0 |
0 |
|
1 |
2 |
1C |
: |
|||
D 1 = 0 |
1 2 |
1 |
0 |
C |
||||||
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
0 |
0 |
|
|
1 |
|
C |
|
|
|
B |
0 |
1 |
C |
|
|||||
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
Поэтому An = det (1 D) = det D 1 , ãäå = x2=n2, èëè
|
0 |
1 2 1 |
0 |
|
0 |
1 |
|
|||
|
2 |
|
1 |
0 |
0 |
|
0 |
C |
|
|
|
B |
0 |
0 |
1 |
2 |
|
1 |
|
||
|
B |
|
1 |
|
|
|
|
|
C |
|
An = det |
B |
0 |
2 |
|
1 |
|
0 |
C |
: |
|
|
0 |
0 |
|
|
1 |
|
|
|||
|
B |
0 |
|
1 |
|
C |
|
|||
|
@ |
|
|
|
|
|
A |
|
Вычисление определителя по первой колонке да¼т следующее рекуррентное уравнение:
An = (2 ) An 1 An 2:
Решим его сначала в более общем случае: An = ( + ) An 1 An 2. Перенося влево An 1 è An 1, получим две геометрические прогрессии:
An An 1 = (An 1 An 2) = n 2 (A2 A1) An An 1 = (An 1 An 2) = n 2 (A2 A1):
Если 6= , то можно исключить An 1 и найти An:
A |
n |
= |
A2 A1 |
n |
|
A2 A1 |
n: |
||||
|
|
( |
|
) |
|
( |
|
) |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В нашем случае и являются корнями уравнения x2 (2 ) x+1 = 0, для которых можно сразу взять ведущий порядок малости по 1=n:
1 + { |
x |
; |
1 { |
x |
; A1 |
A2 1: |
|
|
|
|
|||||
n |
n |
Воспользовавшись предельным определением экспоненты, получаем:
An ! 2 |
1 + |
n |
|
|
+ 2 |
1 n |
! |
2 |
= cos(x); |
|
1 |
|
{x |
|
n |
1 |
|
{x |
n |
e{ x + e |
{ x |
что и требовалось доказать.
136 Глава 5.
Таким образом, интегралу от квадрата винеровской траектории
Ut = Z0 |
t |
W 2 d |
соответствует производящая функция Камерона-Мартина :
ep Ut = |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
p2 7 |
p3 139 |
|
|
p4 5473 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= 1 + p |
|
t2 + |
|
|
|
|
|
t4 + |
|
|
|
t6 + |
|
|
|
|
|
|
t8 + :::; |
||||||
|
|
cos(tp |
|
) |
|
2 |
2! |
12 |
3! |
120 |
4! |
1680 |
|||||||||||||||||||
|
|
2p |
|
||||||||||||||||||||||||||||
è, |
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
следовательно, следующие средние значения: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
t2 |
|
|
|
|
7 |
|
|
|
139 |
|
|
|
|
5473 |
|
|||||||||||||
|
Ut = |
|
|
; |
Ut2 = |
|
t4; |
|
Ut3 |
= |
|
t6; |
|
|
Ut4 = |
|
|
t8; ::: |
|||||||||||||
|
2 |
12 |
|
120 |
|
|
1680 |
||||||||||||||||||||||||
Процесс Ut, êàê è St |
(ñòð. 124), в момент времени t выражается через |
скалярную случайную величину , однако, она имеет не гауссово распре-
деление: |
|
|
|
ep = |
|
1 |
|
|
|
Ut = t2; |
|
|
|
|
; |
||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
cos(p |
|
) |
|||||
|
|
2p |
|||||||
тогда как St = " t3=2=p |
|
, ãäå " |
|
N(0; 1). p |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Зная производящие функции для St è Ut, можно вычислить некоторые стохастические интегралы по W . При помощи интегральной версии леммы Ито (5.15), ñòð. 133, в качестве упражнения стоит проверить, что:
Z0 |
t |
W 3 |
Z0 |
t |
W 4 |
|
3 |
||
|
|
|
|||||||
W 2 W = |
t |
St; |
W 3 W = |
t |
|
|
Ut: |
||
3 |
4 |
2 |
Аналогично, при помощи общей интегральной леммы Ито с функцией, зависящей от времени, имеем:
t
Z
W = t Wt St;
0
Z0 |
t |
t |
t2 |
1 |
|||
|
|||||||
W W = |
|
Wt2 |
|
|
|
Ut: |
|
2 |
4 |
2 |
Таким образом, изучив статистические свойства трех базовых процессов Wt, St è Ut, мы можем вычислять различные средние для достаточно широкого класса случайных процессов, выражаемых через стохастические интегралы.
Процесс Ut имеет негауссово распределение, однако производящая функция для него была вычислена при помощи n-мерного интеграла Гаусса.
Для интегралов по времени от Wt3, Wt4,... получить подобные простые выражения уже не просто.
Стохастические интегралы |
137 |
Найд¼м совместную производящую функцию для винеровского процесса и двух интегралов от него по времени:
Wt; St = Z0 |
t |
Ut = Z0 |
t |
W d ; |
W 2 d : |
Переходя к n скоррелированным гауссовым величинам k = "1 + ::: + "k, |
|||||||||||
имеем: |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
eq Wt+k St+p Ut = (2 ) n=2 |
Z |
eb 21 A d 1:::d n: |
|||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Матрица A и вектор b равны: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2p t2 |
|
|
|
t3=2 |
|
t1=2 |
||||
A = |
|
1 + D 1; |
|
b = k |
|
u + q |
|
z; |
|||
n2 |
|
n3=2 |
n1=2 |
||||||||
ãäå u = (1; :::; |
1) единичный вектор, а z = (0; 0; |
:::; 0; 1) вектор, у |
которого отлична от нуля только последняя компонента. Проведя интегрирование, получаем:
eq Wt+k St+p Ut |
|
e21 b F b |
||
= |
p |
|
; |
|
det A |
ãäå F = A 1 обратная к A матрица. Значение детерминанта нам из-
вестно, осталось вычислить показатель экспоненты. Запишем его при помощи векторов u и z
2 3 (u F u) |
|
2 (u F z) |
2 |
|
(z F z) |
|
||||
b F b = k t |
|
+ 2kq t |
|
|
|
+ q |
t |
|
; |
(5.17) |
n3 |
|
n2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
n |
|
где мы воспользовались тем, что матрица F, как и A, симметрична. Первое выражение в круглых скобках равно сумме всех элементов F, второе
сумме элементов последней колонки, а третье - элементу в нижнем правом углу матрицы.
Так как матрица F является обратной к A, справедливы следующие соотношения:
(D 1 ( =n2) 1) F = F (D 1 ( =n2) 1) F = 1;
ãäå = 2p t2. Умножая их на D, мы приходим к двум матричным уравнениям размерности n x n:
F |
|
D F = D; |
F |
|
F D = D: |
(5.18) |
|
|
|||||
n2 |
n2 |
Нас интересует их решение F при больших n.
138 |
Глава 5. |
Удобно сразу перейти к пределу n ! 1, заменив дискретные индексы на вещественные переменные x = i=n, y = j=n, изменяющиеся от
нуля до единицы. В этом случае матрицы становятся функциями двух переменных, а суммы превращаются в интегралы:
1 |
|
1 n |
! Z |
1 |
||
min(i; j) ! D(x; y) = Dxy = min(x; y); |
dx: |
|||||
|
|
|
||||
n |
n k=1 |
|||||
|
|
|
X |
0 |
|
Например, вычисление следа матрицы Dij вариантах выглядит следующим образом:
1 |
|
n |
i |
|
n(n + 1) |
1 |
||||||
|
|
|
Xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Tr D = n |
n |
= |
2n2 |
! 2; |
||||||||
=1 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в дискретном и непрерывном
1 |
xdx = 2 |
: |
Tr D = Z0 |
||
|
1 |
|
Аналогично определяем F (x; y) = Fxy = Fij=n. В результате матрич- ные уравнения (5.18) превращаются в интегральные:
|
1 |
1 |
|
Fxy Z0 |
Dxz Fzy dz = Dxy; |
Fxy Z0 |
Fxz Dzy dz = Dxy: (5.19) |
Пусть для x < y элемент Fxy равен функции F (x; y). В силу симметрии, если x > y, то Fxy = F (y; x). Разбивая пределы интегрирования на три отрезка из (5.19), при x < y получаем следующие уравнения:
x |
y |
1 |
|
|
|
Fxy Z0 |
z Fzy dz x Zx |
Fzy dz x Zy |
Fyz dz = x; |
(5.20) |
|
x |
y |
|
1 |
|
|
Fxy Z0 |
z Fzx dz Zx |
zFxz dz y Zy |
|
Fxz dz = x: |
(5.21) |
Если взять вторую производную по x от первого уравнения и по y от второго, получатся два осцилляторных уравнения:
|
@2Fxy |
|
|
|
|
|
@2Fxy |
||||||||
|
|
|
+ Fxy |
= 0; |
|
|
|
|
+ Fxy = 0; |
||||||
|
@x2 |
@y2 |
|||||||||||||
решение которых можно записать в виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
cos(yp |
|
) + f2 sin(yp |
|
)] cos(xp |
|
|
) |
|||||
F (x; y) |
= |
[f1 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
cos(yp |
|
) + f4 sin(yp |
|
)] sin(xp |
|
); |
||||
|
|
|
+ |
[f3 |
|
|
|
ãäå fi некоторые константы, зависящие от .
Стохастические интегралы |
139 |
Для того, чтобы их найти, необходимо подставить решение, например,
в первое интегральное уравнение (5.20). Îно обратитсÿ в тождество при |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
любых |
x < y |
, åñëè |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
, |
f4 |
|
|
|
|
|
p |
) f3. Следователь- |
||||||
|
|
|
|
f1 = f2 = 0 f3 = 1= |
|
|
|
= tg( |
|||||||||||||||||||||||||||
но, выражение для матрицы Fxy при x 6 y имеет вид: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
xp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
) |
hcos(yp ) + tg(p ) sin(yp )i: |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
Fxy = |
sin(p |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Теперь несложно найти множители в показателе экспоненты (5.17): |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
z F z |
|
|
|
|
|
|
tg( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
= F11 = |
p |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
n2 |
= Z |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos(p ) 1 |
; |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
Fx1 dx = |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
u F z |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
n3 |
= 2 Z Z Fxy dx dy = " |
|
|
|
p |
1#: |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
u F u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
tg( |
) |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
00
Поэтому окончательно производящая функция равна:
eM=2
eq Wt+k St+p Ut = q p ;
cos( )
ãäå = 2p t2, è
|
p |
|
|
|
+ |
2 |
3 |
|
" |
p |
|
|
|
|
1# + kq t2 |
|
cos(p ) |
1 : |
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
M = q2 t p |
3 |
|
p |
||||||||||||||||||||||||
|
tg( ) |
|
k t |
|
3 |
|
|
tg( ) |
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заметим, что, если = 0, то
eq Wt+k St = e12 (q2t+13 k2t3+kqt2)
соответствует двум скоррелированным гауссовым случайным величинам. Привед¼м значение некоторых средних:
2 |
Wt Ut = St Ut = 0; |
Wt St = t2 ; |
Wt2 St = Wt St2 = Wt Ut2 = St Ut2 = 0;
Wt2 Ut = |
7 |
|
St2 Ut = |
13 |
|
|
t3; |
|
t5: |
||
6 |
30 |
Другие соотношения можно найти в разделах R57, R61, R62 Стохасти- ческого справочника (стр. 284).