6.2Системы стохастических уравнений

В общем случае система стохастических уравнений записывается в виде:

где i = 1; :::; n, по повторяющемуся индексу = 1; :::; m предполагается суммирование, и в общем случае n 6= m. Можно опустить не только знак

суммы, но и индексы, записав стохастическое уравнение в матричном виде:

где a векторная функция, а b матричная, размерности n x m. Вектор

винеровских переменных, как и в одномерном случае, записывается через гауссовы случайные числа:

Мы будем считать, что h" " i = , а эффекты корреляции переносить

на матрицу bi . Скоррелированные величины "0 можно выразить через нескоррелированные при помощи линейного преобразования 0 = S ,

поэтому стохастический член в ураp âнении Ито со скоррелировp àнными винеровскими переменными b0 0 dt эквивалентен (b0 S) dt.

Численное моделирование выполняется при помощи выбора малого интервала времени t. После этого генерится вектор m нормально распредел¼нных чисел = f"1; :::; "mg и вычисляется набор значений процессов в следующий момент времени. Для первой итерации:

Процессы x(t) = fx1(t); :::; xn(t)g мы всегда нумеруем, начиная с индекса 1, а нулевой индекс x0i - это значение i-того процесса в момент времени t0, ò.å. x0i = xi(t0).

Несложно проверить, что смысл коэффициентов сноса определяется средним hxi x0ii = t = ai(x0; t0), а диффузия:

при t ! 0 стремится к произведению матриц волатильности, где bTij = bji - операция транспонирования (перестановки) индексов.

Обобщим лемму Ито на n-мерный случай. Пусть F (x; t) диффе-

ренцируемая функция. Разложим е¼ в ряд Тейлора в окрестности точки

x0; t0:

По повторяющимся индексам проводится суммирование, и все функции в правой части вычисляются в точке x0; t0. В соответствии с (6.7):

p

xi = ai(x0; t0) t + bi (x0; t0) " t: (6.10)

Изменение функции dF = F (x; t) F (x0; t0) подчиняется стохастиче- скому уравнению Ито:

Ñíîñ A(x0; t0) по определению равен пределу hF F0i = t при t ! 0 и находится с уч¼том соотношений h" " i = . Для диффузии, в соответствии с (6.8), имеем:

Поэтому стохастическое уравнение для скалярной функции n + 1 переменных F (x; t), в которую вместо аргументов x подставлены случайные процессы x(t), записывается следующим образом:

Если функция F не скалярная, а векторная, то это соотношение спра-

ведливо для каждой из е¼ компонент.

Введя символ следа матрицы, равного сумме диагональных элементов Tr A = A = A11 + ::: + Ann, можно записать лемму Ито в матричном виде:

ãäå @2F=@x2 матрица вторых производных.

Получим многомерное уравнение Фоккера-Планка. Для этого необ-

ходимо повторить рассуждения из одномерной задачи. Рассмотрим слу- чайный вектор y = x(t) в момент времени t и предшествующий ему

x = x(t t) в момент времени t t. Они связаны диффузным стохастическим процессом:

p

y = x + a t + b t;

где векторная a = ai(x; t t) и матричная b = bi (x; t t) функции вычислены в момент времени t t. Предположим, что плотность вероятности случайной величины x равна P (x; t t). Распределение

для гауссовой переменной нам известно. Чтобы найти распределение для величины y, необходимо вычислить среднее от произвольной функции

F (y) с известными плотностями P (x; t t) и P ( ):

p

Разложим первый множитель в ряд по малой величине a t + b " t:

где по повторяющимся индексам, как и раньше, подразумевается суммирование. По t раскладываем также P (x; t t).

При интегрировании по всем "i происходит усреднение, которое да¼т h" i = 0 è h" " i = . В результате, повторяя рассуждения на стр. 107, получаем:

ность вероятности. Если в момент времени t0 значение x0 известно точно, то для решения этого уравнения используется начальное условие в виде n - мерной дельта - функции Дирака, равной произведению одномерных

функций по каждой координате: P (x0; t0 ) x; t0) = (x x0).