7.2Стохастический осциллятор

Множество механических, электромагнитных, биологических и со-

циальных систем описываются осцилляторными уравнениями. Для определ¼нности мы рассмотрим одномерный механический осциллятор массой m, подверженный трению и внешним стохастическим воздействиям.

Определение импульса и закон Ньютона в этом случае имеют вид:

где сила состоит из тр¼х компонент:

Сила упругости пропорциональна величине отклонения от положения равновесия x. Мы будем считать, что коэффициент упругости k испыты-

вает стохастические изменения, которые символически обозначены чле-

íîì Noise1. Знак минус перед упругой силой означает, что она стремится вернуть частицу назад, к положению равновесия. Сила сопротивления тем больше, чем больше скорость (импульс) частицы. Так происходит при движении в среде (воздух, вода). Сопротивление стремится остановить движение. Будем также предполагать, что коэффициент сопротив-

ления подвержен стохастическим воздействиям Noise 2. Наконец, третья

составляющая силы это шум Noise3, который может быть, например, внешними случайными толчками.

Все три стохастические компоненты, в зависимости от ситуации, можно рассматривать как в качестве независимых, так и в качестве зависимых случайных процессов. В общем случае между ними существуют некоторые корреляционные коэффициенты. Мы рассмотрим случай независимых стохастических воздействий, считая, что они имеют различную причину, и поэтому нескоррелированы.

Будем работать в системе единиц, для которой m = 1, k = 1 (l

Стохастические уравнения движения в этом случае имеют вид:

dx = p dt

dp = x dt 2 p dt + 1 x W1 + 2 p W2 + 3 W3;

ãäå 1 волатильность коэффициента упругости, 2 силы трения, а 3 внешнего шума. Винеровские переменные W1, W2 è W3 представляют собой изменения тр¼х независимых процессов.

Åñëè 4 > 12 + 22, система имеет стационарный режим при t ! 1,

âкотором:

При > 0 средние стремятся к нулю, и матрица дисперсии оказывается диагональной:

Каждая разновидность шума увеличивает дисперсии, но по-разному. Трение играет стабилизирующую роль, уменьшая D.

Заметим, что динамика при t ! 1 продолжается только, если существует внешний шум ( 3 6= 0). Åñëè 3 = 0, стационарный режим

также существует, но он вырождается в полное затухание колебаний, иx2 = p2 = 0. Причина подобного поведения та же, что и у логисти-

ческого уравнения (стр. 90).

Пусть детерминированной составляющей трения нет = 0, а флук-

туации упругости и трения имеют одинаковые амплитуды 1 = 2 = . Введ¼м энергию гармонического осциллятора:

E = x2 + p2 :

2

Èç (7.4) следует, что е¼ среднее значение удовлетворяет уравнению:

а, следовательно, возрастает со временем:

Если стохастическое воздействие обусловлено только внешними толчками ( 1 = 2 = 0), то рост не такой быстрый и аналогичен винеровскому увеличению неопредел¼нности hEi = E0 + 32 t=2. Так же, как и броуновская частица под внешним воздействием в среднем удаляется от начального положения, так и квадрат амплитуды осциллятора при = 0 в

среднем увеличивается.

Если существуют только внешние толчки ( 1 = 2 = 0), то стохастика имеет постоянную волатильность 3 = :

dx = p dt

dp = x dt 2 p dt + W:

Подобную систему мы рассматривали в шестой главе (стр. 160). Она обладает точным решением, которое выражается через две независимые гауссовы переменные. Воспользуемся общим алгоритмом решения системы линейных уравнений (см. стр. 164) с матрицами:

При помощи этой матрицы, интегрируя (6.28), ñòð. 167, можно найти дисперсию координаты и импульса:

Dxp(t) = 22 sin2(!t) e 2 t 2!

и стремится к нулю при t ! 1 и > 0. В результате, в стационарном

режиме (t ! 1) матрица дисперсий диагональна (7.5), поэтому автоковариационная матрица cov( ) равна eAT j j с множителем 2=4 .

При отсутствии трения = 0, ! = 1:

и, как мы видели выше, стационарного режима нет. Дисперсии по x и p

растут во времени, совершая периодические колебания. Автоковариационная матрица cov(t; t + ) получается перемножением D(t) и eAT j j.