- •Инвестиции Учебное пособие
- •Печатается по решению редакционно-издательского совета сзагс
- •Содержание
- •Раздел I. 6
- •Раздел II. Лекции 8
- •Раздел IV. Планы практических занятий 186
- •Раздел V. Словарь основных понятий 197
- •Рынок ценных бумаг
- •Раздел II. Лекции Введение
- •1. Товары финансового рынка
- •2. Финансовые вычисления
- •2.1. Основные понятия
- •2.2. Кредитование
- •Пример 9.
- •Решение.
- •Решение.
- •2.3. Дисконтирование
- •Банк начисляет проценты по номинальной ставке 16 %. Уровень инфляции составляет 12 %. Определить реальную ставку банковского процента с учетом инфляционной премии.
- •2.4. Эффективная ставка
- •2.5. Непрерывная ставка (сила роста) и непрерывный дисконт
- •3. Потоки платежей
- •3.1. Однонаправленные потоки платежей
- •3.2. Финансовая рента (аннуитет)
- •Непрерывная рента.
- •3.3. Двусторонние потоки платежей. Эффективная ставка операции
- •3.4.Эффективная ставка кредита
- •Парадокс эффективной процентной ставки.
- •3.5 Финансовые вычисления по ценным бумагам
- •Фундаментальный и технический анализ ценных бумаг.
- •Оценка облигаций с нулевым купоном
- •Оценка облигации с фиксированной ставкой
- •Оценка бессрочных облигаций с постоянным доходом
- •Оценка обыкновенных акций
- •Формула Гордона.
- •Формула Модильяни
- •3.6. Вероятностные характеристики платежей
- •Оценка эффективности инвестиционного проекта
- •4.1 Критерии оценки эффективности инвестиционного проекта
- •4.2. Чистое современное значение npv (net present value)
- •4.3.Эффективная ставка, внутренняя эффективность, внутренняя норма доходности (internal rate of return, irr)
- •4.4.Срок (время) окупаемости инвестиционного проекта (discount payback period, dpp)
- •4.5.Норма рентабельности, индекс доходности инвестиционного проекта (profitability index, pi)
- •Расчет н нормы рентабельности (индекса доходности) инвестиционного проекта
- •5. Моделирование рисков на рынке ценных бумаг
- •5.1. Финансовый риск
- •5.2. Неравенство Чебышева
- •Теорема Чебышева
- •5.3. Хеджирование
- •6. Портфель ценных бумаг
- •6.1. Характеристики портфеля ценных бумаг
- •6.2. Оценка доходности и риска портфеля ценных бумаг
- •6.3. Портфель из независимых ценных бумаг. Диверсификация портфеля
- •6.4. Портфель из коррелированных ценных бумаг
- •6.5. Портфель из антикоррелированных ценных бумаг
- •7. Оптимальный портфель при рискованных вложениях
- •Задача об осторожном инвесторе.
- •Портфель из статистически независимых ценных бумаг с минимальным риском
- •8. Оптимальный портфель ценных бумаг при безрисковых и рискованных вложениях (j. Tobin)
- •9. Статистика фондового рынка
- •9.1. Прямой статистический метод
- •9.2. Метод ведущих факторов
- •Заключение
- •Приложение Элементы теории вероятностей и математической статистики
- •Ковариация
- •Линейная регрессия. Парная линейная регрессия
- •Множественный регрессионный анализ
- •Раздел ш. Список рекомендуемой литературы
- •Раздел IV. Планы практических занятий Занятие № 1. Тема «финансовые вычисления»
- •1.1. Основные понятия
- •1.2. Кредитование
- •Задача 11.
- •Задача 12.
- •1.3. Дисконтирование
- •1.4. Эффективная ставка
- •1.5. Непрерывная ставка (сила роста) и непрерывный дисконт
- •2.4.Эффективная ставка операции
- •Занятие № 3. Тема «финансовые вычисления по ценным бумагам» Оценка облигаций с нулевым купоном
- •Занятие № 4. Тема «оценка эффективности инвестиционного проекта»
- •Занятие № 5. Тема «финансовый риск»
- •3.2. Неравенство Чебышева
- •3.3. Хеджирование
- •Занятие № 6. Тема «портфель ценных бумаг». «построение оптимального портфеля ценных бумаг при рискованных вложениях»
- •Раздел V. Словарь основных понятий
- •Раздел VI. Примерные темы курсовых работ
- •Раздел VII. Примерный перечень вопросов к итоговой аттестации
- •Клоков Владимир Иванович инвестиции
6.2. Оценка доходности и риска портфеля ценных бумаг
Предположим, что портфель инвестора содержит nценных бумаг с эффективностямиR1,R2,,Rn. На приобретение ценных бумаг истрачена сумма, которую удобно принять за единицу. Пустьx1,x2,,xn– суммы, потраченные на приобретение 1, 2,, n-ой бумаги. Тогда:
х1+х2++хn=1 или. (6.1)
Эффективность портфеля будет равна:
или . (6.2)
Используя свойства линейности математического ожидания, для ожидаемой (средней) эффективности портфеля mполучим:
,
или окончательно:
. (6.3)
Отклонение эффективности портфеля Rот ожидаемой эффективности равно:
.
Математическое ожидание квадрата отклонения (R-m)2является дисперсией (вариацией). Оно определяет меру риска для портфеля и равно в силу линейности математического ожидания величине:
Окончательно:
, (6.4)
где – ковариация случайных величинRiиRj.
Она связана с коэффициентами корреляции kijслучайных величинRiиRjформулой:
, (6.5)
где
–дисперсия Ri;
–дисперсия Rj.
Таким образом, риск портфеля инвестора определяется дисперсией, являющейся квадратичной формой относительно x1,x2,,xnи заданной симметричной матрицей:
(6.6)
где .
В развернутом виде (6.4) запишется:
. (6.7)
Выпишем основные уравнения, характеризующие портфель:
(6.8)
Далее рассмотрим частные случаи.
6.3. Портфель из независимых ценных бумаг. Диверсификация портфеля
Предположим, что портфель инвестора состоит из попарно некоррелированных ценных бумаг. Тогда ковариация ij=0 приij. Используя уже введенное ранее обозначение, получим для дисперсии (6.4) или (6.7):
. (6.9)
Предположим, что инвестор вложил свои деньги равными порциями во все ценные бумаги. Тогда и из (6.9) получаем для ожидаемого эффекта:
, (6.10)
для риска:
. (6.11)
Пусть равна максимальной дисперсии из. Тогда, для меры риска может быть получена оценка:
.
Очевидно, при росте числа независимых ценных бумаг, включенных в портфель, риск портфеля стремится к нулю, т. е. .
Этот результат в теории финансового рынка известен как эффект диверсификациипортфеля.
6.4. Портфель из коррелированных ценных бумаг
В отличие от предыдущего пункта предположим, что эффективности ценных бумаг попарно коррелированны, т. е. для iиjбумаги (ij) коэффициент корреляции равен 1. Тогда,kij=1 (ij), из (6.5)ij=ijи риск из (6.4) равен:
.
Произведем простую диверсификацию, вложив деньги в равных долях , тогда:
.
Для среднеквадратического отклонения, оценивающего риск, получаем:
. (6.12)
Отсюда, риск будет меняться в пределах:
,
где min (max)– минимальное (максимальное) значение среднеквадратического отклонения для всех купленных ценных бумаг, т.е.min(max) из1,2,,n.
Диверсификация портфеля при полной корреляции не дает положительного эффекта. Риск портфеля равен среднему арифметическому рисков отдельных бумаг и не стремится к нулю при увеличении количества бумаг (n).
6.5. Портфель из антикоррелированных ценных бумаг
Рассмотрим упрощенный модельный случай, отражающий, впрочем, суть проблемы. Пусть портфель инвестора состоит из двух ценных бумаг, находящихся в состоянии обратной корреляции (или антикорреляции). Тогда, коэффициент корреляции между эффективностями 1-ой и 2-ой ценной бумагой равен
-1: . Отсюда, дисперсия, оценивающая риск портфеля, равна:
.
Очевидно, если деньги инвестора разделены в пропорции , то риск портфеля равен нулю.
Учитывая, что х1+х2=1, получим:
.
Эффективность портфеля равна:
и будет лежать в пределах от min(m1,m2) доmах (m1,m2).
Таким образом, при наличии антикорреляции возможен портфель инвестора с нулевым риском.