- •Инвестиции Учебное пособие
- •Печатается по решению редакционно-издательского совета сзагс
- •Содержание
- •Раздел I. 6
- •Раздел II. Лекции 8
- •Раздел IV. Планы практических занятий 186
- •Раздел V. Словарь основных понятий 197
- •Рынок ценных бумаг
- •Раздел II. Лекции Введение
- •1. Товары финансового рынка
- •2. Финансовые вычисления
- •2.1. Основные понятия
- •2.2. Кредитование
- •Пример 9.
- •Решение.
- •Решение.
- •2.3. Дисконтирование
- •Банк начисляет проценты по номинальной ставке 16 %. Уровень инфляции составляет 12 %. Определить реальную ставку банковского процента с учетом инфляционной премии.
- •2.4. Эффективная ставка
- •2.5. Непрерывная ставка (сила роста) и непрерывный дисконт
- •3. Потоки платежей
- •3.1. Однонаправленные потоки платежей
- •3.2. Финансовая рента (аннуитет)
- •Непрерывная рента.
- •3.3. Двусторонние потоки платежей. Эффективная ставка операции
- •3.4.Эффективная ставка кредита
- •Парадокс эффективной процентной ставки.
- •3.5 Финансовые вычисления по ценным бумагам
- •Фундаментальный и технический анализ ценных бумаг.
- •Оценка облигаций с нулевым купоном
- •Оценка облигации с фиксированной ставкой
- •Оценка бессрочных облигаций с постоянным доходом
- •Оценка обыкновенных акций
- •Формула Гордона.
- •Формула Модильяни
- •3.6. Вероятностные характеристики платежей
- •Оценка эффективности инвестиционного проекта
- •4.1 Критерии оценки эффективности инвестиционного проекта
- •4.2. Чистое современное значение npv (net present value)
- •4.3.Эффективная ставка, внутренняя эффективность, внутренняя норма доходности (internal rate of return, irr)
- •4.4.Срок (время) окупаемости инвестиционного проекта (discount payback period, dpp)
- •4.5.Норма рентабельности, индекс доходности инвестиционного проекта (profitability index, pi)
- •Расчет н нормы рентабельности (индекса доходности) инвестиционного проекта
- •5. Моделирование рисков на рынке ценных бумаг
- •5.1. Финансовый риск
- •5.2. Неравенство Чебышева
- •Теорема Чебышева
- •5.3. Хеджирование
- •6. Портфель ценных бумаг
- •6.1. Характеристики портфеля ценных бумаг
- •6.2. Оценка доходности и риска портфеля ценных бумаг
- •6.3. Портфель из независимых ценных бумаг. Диверсификация портфеля
- •6.4. Портфель из коррелированных ценных бумаг
- •6.5. Портфель из антикоррелированных ценных бумаг
- •7. Оптимальный портфель при рискованных вложениях
- •Задача об осторожном инвесторе.
- •Портфель из статистически независимых ценных бумаг с минимальным риском
- •8. Оптимальный портфель ценных бумаг при безрисковых и рискованных вложениях (j. Tobin)
- •9. Статистика фондового рынка
- •9.1. Прямой статистический метод
- •9.2. Метод ведущих факторов
- •Заключение
- •Приложение Элементы теории вероятностей и математической статистики
- •Ковариация
- •Линейная регрессия. Парная линейная регрессия
- •Множественный регрессионный анализ
- •Раздел ш. Список рекомендуемой литературы
- •Раздел IV. Планы практических занятий Занятие № 1. Тема «финансовые вычисления»
- •1.1. Основные понятия
- •1.2. Кредитование
- •Задача 11.
- •Задача 12.
- •1.3. Дисконтирование
- •1.4. Эффективная ставка
- •1.5. Непрерывная ставка (сила роста) и непрерывный дисконт
- •2.4.Эффективная ставка операции
- •Занятие № 3. Тема «финансовые вычисления по ценным бумагам» Оценка облигаций с нулевым купоном
- •Занятие № 4. Тема «оценка эффективности инвестиционного проекта»
- •Занятие № 5. Тема «финансовый риск»
- •3.2. Неравенство Чебышева
- •3.3. Хеджирование
- •Занятие № 6. Тема «портфель ценных бумаг». «построение оптимального портфеля ценных бумаг при рискованных вложениях»
- •Раздел V. Словарь основных понятий
- •Раздел VI. Примерные темы курсовых работ
- •Раздел VII. Примерный перечень вопросов к итоговой аттестации
- •Клоков Владимир Иванович инвестиции
4.5.Норма рентабельности, индекс доходности инвестиционного проекта (profitability index, pi)
Зафиксируем процентную ставку rи времяtдля инвестиционного проекта.
Нормой рентабельности (индексом доходности) инвестиционного проекта (profitability index, PI) называется числоH, равное отношению современной стоимости потока доходов к современной стоимости потока инвестиций в проект:
, (4.6)
где - инвестиции в моменты времениj=1,2,…m,
- доходы от инвестиций в моменты времени i=1,2,…n,
r-ставка дисконтирования.
Таким образом, в числителе формулы для вычисления нормы рентабельности (индекса доходности) стоит сумма дисконтированных доходов, а в знаменателе сумма дисконтированных инвестиций.
Экономический смысл нормы рентабельности (индекса доходности) инвестиционного проекта – это количество рублей заработанных на один рубль инвестиций.
Таким образом, решение о приемлемости инвестиционного проекта принимается по следующему решающему правилу:
● Если норма рентабельности (индекс доходности) инвестиционного проекта больше единицыH>1, то доходы от инвестиционного проекта превосходят расходы и проект приемлем. При этомNPV>0.
● В противном случае, если норма рентабельности (индекс доходности) инвестиционного проекта меньше единицыH<1, то доходы от инвестиционного проекта меньше расходов и проект неприемлем. При этомNPV<0.
● Если норма рентабельности (индекс доходности) инвестиционного проекта равна единицеH=1, то доходы от инвестиционного проекта равны расходам. Это критический случай. При этомNPV=0.
Определение числителя и знаменателя в формуле для вычисления нормы рентабельности (индекса доходности) инвестиционного проекта возможен с помощью функции Excel расчета чистого современного значения NPV
ЧИСТНЗ (процентная ставка, значения, даты).
Пример 55.
Инвестиционный проект задан двусторонним потоком платежей. Соответствующий поток приведен в двух первых столбцах таблицы 4.2. Процентная ставка равна 10 %. В третьем столбце представлены инвестиции, в четвертом столбце доходы от инвестиций, в пятом столбце дисконтированная сумма доходов от инвестиционного проекта. В шестом столбце и на рис. 4.4 представлена зависимость нормы рентабельности (индекса доходности) H(t) от времени t действия инвестиционного проекта. Норма рентабельностиH(t) равна отношению дисконтированной суммы доходов к дисконтированной сумме инвестиций, равной 236,328033 млн руб.
Таблица 4.2
Расчет н нормы рентабельности (индекса доходности) инвестиционного проекта
|
процентная ставка r= |
10,00% |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Даты |
Значения (млн. руб.) |
инвестиции C- |
доходы C+ |
дисконт. сумма доходов |
Н |
01.01.2008 |
-100 |
100,0 |
0 |
|
|
01.01.2009 |
-150 |
150,0 |
0 |
|
|
01.01.2010 |
0 |
|
0 |
0,00 |
0,000 |
01.01.2011 |
60 |
|
60 |
45,07 |
0,191 |
01.01.2012 |
60 |
|
60 |
86,04 |
0,364 |
01.01.2013 |
60 |
|
60 |
123,27 |
0,522 |
01.01.2014 |
60 |
|
60 |
157,12 |
0,665 |
01.01.2015 |
60 |
|
60 |
187,90 |
0,795 |
01.01.2016 |
60 |
|
60 |
215,87 |
0,913 |
01.01.2017 |
60 |
|
60 |
241,30 |
1,021 |
01.01.2018 |
60 |
|
60 |
264,41 |
1,119 |
01.01.2019 |
60 |
|
60 |
285,43 |
1,208 |
01.01.2020 |
60 |
|
60 |
304,53 |
1,289 |
На рис 4.5 и в шестом столбце таблицы представлена зависимость нормы рентабельности H(t) от времени t при процентной ставкеr=10 %. В момент времени 01.01.2017 она составляет Н=1,021. Это значение превышает единицу то, есть на 1 руб. инвестиций получено 1,021 руб. дохода, что соответствует времени окупаемости инвестиционного проекта.
Пример56. Оценка риска инвестиционного проекта.
Инвестиционный проект задан двусторонним потоком платежей. Соответствующий поток приведен в двух первых столбцах таблицы 4.3. Процентная ставка является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием a= 10 % и среднеквадратическим отклонением σ = 3 %. Найти вероятность окупаемости инвестиционного проекта на момент времени t.
Решение.
Процентная ставка распределена по нормальному закону. Функция распределения нормально распределенной случайной величины с математическим
ожиданием a и среднеквадратическим отклонением σ имеет вид:
,
где для расчета вероятности P(r<x) используется нормированная нормальная функцию распределенияс математическим ожиданием 0 и дисперсией 1 и заданная интегралом Лапласа:
.
Для перехода к нормированной нормальной функции распределения центрируем случайную величину по формуле . Для вычисления функции Лапласа можно использовать таблицы или функцию НОРМСТРАСП( ) из Excel.
Согласно п. 4.2 чистое современное значение NPV зависит от процентной ставки rи времениt, то есть NPV = NPV(r,t). Фиксируем времяt. Если процентная ставкаrявляется случайной величиной, то и современное значение NPV будет случайной величиной. Окупаемость проекта наступает, когда современное значение NPV становится больше нуля, т. е. окупаемости проекта соответствует событие NPV( r,t)>0. Найдем вероятность этого события:
,
где IRR– эффективная ставка проекта на моментt. Согласно п. 4.3 она является решением уравненияNPV(t,IRR) = 0.
Тогда, используя для вычисления интеграла Лапласа функцию НОРМСТРАСП( ) и функцию ЧИСТВНДОХ( ) для вычисления эффективной ставки IRR, найдем вероятность того, что инвестиционный проект окупится к моментуt. Результаты расчетов приведены в таблице 4.3 и проиллюстрированы рис 4.6.
Таблица 4.3.
Зависимость вероятности окупаемости от длительности проекта
-
Даты
Суммы
Эффективная ставка IRR
Вероятность
окупаемости
01.01.2008
-100
01.01.2009
-150
01.01.2010
0
01.01.2011
60
-45,78%
0,000000
01.01.2012
60
-22,34%
0,000000
01.01.2013
60
-9,15%
0,000000
01.01.2014
60
-1,04%
0,000117
01.01.2015
60
4,26%
0,027946
01.01.2016
60
7,89%
0,240954
01.01.2017
60
10,46%
0,560307
01.01.2018
60
12,32%
0,780335
01.01.2019
60
13,71%
0,891625
01.01.2020
60
14,75%
0,943478
01.01.2021
60
15,56%
0,968051
01.01.2022
60
16,18%
0,980370
Таким образом, если процентная ставка является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием a= 10 % и среднеквадратическим отклонением σ = 3 %, то вероятность окупаемости проекта на 2017 год равна0,56на 2018 и 2019 годы она возрастет и будет равна соответственно0,78; 0,89.