3.2. Финансовая рента (аннуитет)

Важным частным случаем потока платежей является финансовая рентаили просторента(rent), называемая иногда такжеаннуитетом (annuity).

Под финансовой рентойпонимается поток платежей, у которого все выплаты одного знака и производятся через равные промежутки времени.

Примером рент являются: квартирная плата, погашение кредита, пенсии, регулярные выплаты процентов, ипотека, страховые выплаты и т. д. Первоначально рассматривались лишь ежегодные выплаты (anno-год) отсюда название аннуитет (annuity).

Интервал времени между выплатами называется периодом ренты(rentperiod,paymentperiod); размер отдельного платежа –членом ренты(rent).Сроком ренты(temp) называется время от начала первого периода ренты до конца последнего периода.

Если выплаты производятся в конце периода, то рента называется рента постнумерандоилиобыкновеннаярента (аннуитет постнумерандо или обыкновенный аннуитет, ordinary annuity).

Если выплаты производятся в начале периода, то рента называется рента пренумерандоилиавансированная рента(аннуитет пренумерандо или авансированный аннуитет, annuity due). Иногда выплаты ренты производятся в середине периода, например пенсии.

Для безусловной ренты (annuity certain)заранее оговариваются моменты всех выплат – от первой до последней выплаты. Дляусловной ренты (contingent annuity)даты первой и последней выплаты зависят от какого-либо случайного события. Примером такой ренты являются страховые выплаты или пенсии (lifeannuity). Для описания и оценки условных рент создана бурно развивающаяся в настоящее время страховая (актуарная) математика.

Существуют и бессрочные (вечные)ренты. Пример такой ренты это облигации Британского казначейства (Х1Х век), выплаты по ним производятся два раза в год по 2,5 % годовых.

Простая рентаозначает выплаты одной суммы,сложная рентапредполагает выплаты переменных сумм.

Проведем расчет простой ренты постнумерандо (см. рис. 3.4).

n

Рис. 3.4.

Если член ренты – с, а процентная ставка – r, то современная стоимость ренты будет равна:

(3.4)

Суммируя геометрическую прогрессию, по формуле получим:

Окончательно . (3.5)

или .

Наращенная сумма S(n) согласно (3.2) будет равна:

. (3.6)

Расчет простой ренты пренумеранто сводится к следующему потоку платежей (см. рис. 3.5).

Рис. 3.5.

Современная стоимость ренты равна:

.

Суммируя геометрическую прогрессию аналогично предыдущему, получим:

Или окончательно

. (3.7)

Для наращенной суммы получим:

. (3.8)

Сравнивая (3.7) и (3.8) с (3.5) и (3.6), убеждаемся, что рента пренумерандо дороже ренты постнумерандо. Точнее справедлива формула:

S_{пренумерандо}=(1+r)S_{постнумерандо}.

Для величины

, (3.9)

называемой коэффициентом наращивания, существуют специальные таблицы. Однако в настоящее время его вычисление не составляет труда. Используя коэффициент наращивания, формулы (3.5) и (3.8) запишутся:

	постнумерандо	пренумерандо
S(0)
S(n)

Непрерывная рента.

Если выплаты ренты производятся достаточно часто и длительный промежуток времени, удобно от дискретной ренты перейти к непрерывной ренте. Рассмотрим соответствующий непрерывный поток платежей. Произведем расчет современного значения PV=S(0) и будущего значенияFV=S(t_k) для данного потока платежей.

Пусть C(t)dt– значение платежа в момент времениtза промежуток времениdt, срок ренты равенt_k, начало ренты в момент 0 конец в моментt_k. В общем случае предполагается возможность выплаты переменных суммC(t).

S(0)=PV C(t)dt S()=FV

0 t

Рис 3.6.

Для оценки непрерывного потока платежей рассчитаем современное значение или приведенную к начальному моменту денежную сумму S(0) =PV. Предположим, что процентная ставка равна r. Тогда, платежC(t)dt в пересчете на начальный момент должен дисконтироваться, то есть умножаться на число меньше единицы равноеe^{- r t}(см. формулу (2.12) для непрерывных процентов) и дисконтированный платеж будет равенe^{-r t} C (t) dt. При этом приращение современного значенияS(0) будет равно:

(3.10)

После интегрирования дифференциального уравнения по всему сроку ренты от начала ренты в момент 0 до конца ренты в момент t_k получим для оценки современного значения непрерывной ренты следующий интеграл:

(3.11)

Формула применима для оценки сложной ренты, когда предполагаются выплаты переменных суммC (t).

Простая непрерывная рента:Если рента предполагает выплату постоянно одной и той же суммы С, то рента называется простой. Произведем расчет современного значенияPV=S(0) и будущего значенияFV=S(t_k) для данного потока платежей. В этом случае имеемC(t) =Cи соответствующий интеграл может быть легко вычислен:

Окончательно для современного значения получаем:

(3.12)

Учитывая, что длительность сделки равна t_k , а процентная ставка равнаr, будущее значениеS(t_k) по формуле непрерывных процентов (2.12) будет равно:

Отсюда окончательно получим для простой непрерывной ренты будущее значение:

(3.13)

Иногда момент окончания сделки удобно принять за t_k=nтогда выведенные выше формулы будут иметь чуть более компактный вид. Для непрерывной ренты имеем современное значение:

. (3.14)

Формула для бессрочной (вечной ренты) получается из (3.5) или (3.14) предельным переходом при и имеет вид:

(3.15)

Для непрерывной ренты наращенная сумма будет равна:

. (3.16)

Рассмотрим примеры использования полученных формул.

Пример 32.

Кредит 5 млн руб. погашается 12 равными ежемесячными взносами. Найти сумму выплат при ставке 12 % годовых.

Решение.

Воспользуемся формулой (3.4):

,

где S(0)=5 млн руб.; число периодов начисленияn=12,r=1%=0,01 – годовая ставка, пересчитанная на 1 месяц, т. е..

Тогда, согласно (3.5) имеем:

,

отсюда:

(3.17)

Подставляя числа, получим:

млн руб.

Пример 33.

Для приобретения недвижимости стоимостью 60 тыс. $ берется кредит под 6 % годовых. Согласно контракту погашение кредита происходит каждый месяц в течение 30 лет. Какова сумма месячного платежа?

Решение.

Длительность ренты в месяцах равна 360. Воспользуемся формулой (3.4) для установления связи между неизвестным членом ренты с, современной стоимостью ренты S(0)=60 тыс. $ и месячной процентной ставкой.

, тогда, суммируя, получим из (3.5):

.

Отсюда, сумма месячного платежа равна:

тыс. $ = 359,73 $.

Если воспользоваться формулами для непрерывной ренты (3.10), получим:

тыс. $=359,41 $.

Очевидно, что суммы ежемесячного платежа, рассчитанные по непрерывным и дискретным формулам, близки.

Пример 34.

Кредит погашается в течение года ежемесячными платежами в размере 2 тыс. руб., годовая процентная ставка составляет 12 %. Необходимо найти величину кредита.

Решение

Воспользуемся сначала формулой (3.5) вычисления современного значения обыкновенной дискретной ренты:

В нашей задаче член ренты равен c= 2 тыс. руб., срок рентыn= 12 месяцев, месячная процентная ставка равнаr= 12 %/12 = 1 % (1/мес.), а неизвестной является величина кредитаS(0). Тогда:

тыс. руб.

В непрерывном случае для решения воспользуемся формулой:

,

Получаем:

= 22,616 тыс. руб.

Сумма кредита составляет 22616 руб. ‑ она чуть больше суммы 22510 руб., рассчитанной по дискретной формуле.

Пример 35.

Планируется покупка автомобиля FORDF650 стоимостью $250 тыс. через 5 лет. Необходимо найти сумму, которую будем откладывать ежемесячно в течение указанного срока под годовую процентную ставку 6 % для осуществления запланированной покупки.

Решение

Воспользуемся сначала формулой (3.6) вычисления будущего значения обыкновенной дискретной ренты:

В нашей задаче член ренты cнеизвестен, а известны: срок рентыn=5*12=60 месяцев, месячная процентная ставка равнаr=6%/12=0,5%=0,005 (1/мес.), и будущее значениеS(n)=$250 тыс.

Тогда,

тыс.

В непрерывном случае для решения воспользуемся формулой (3.15):

Откуда

тыс.

Ежемесячно необходимо откладывать суммы в размере $ 3572,87 ‑ при расчете по непрерывным процентам или $ 3583,2 ‑ при расчете по дискретным процентам.

Пример 36

В момент рождения ребенка родители начинают откладывать ежемесячно $C на его обучение в университете. Плата за весь срок обучения составляет $100 тыс. и вносится в момент поступления ребенка в университет. Ребенок поступает в университет в возрасте 17 лет. Банковская ставка составляет 6 % в год. Найти величину $C.

Решение

Задача решается аналогично предыдущему примеру 35. Известны: срок ренты: n=17*12=204 месяцев, месячная процентная ставка равнаr=6%/12=0,5%=0,005 (1/мес.), и будущее значениеS(n)=$100 тыс. Нужно найти месячный платеж (член ренты)с:

Дискретный расчет

тыс.=$283,1.

Непрерывный случай

тыс.=$281,98

На обучение ребенка в университете нужно откладывать ежемесячно $283,1 при дискретном расчете или =$281,98 при непрерывном расчете.

Пример 37

В конце каждого месяца на сберегательный счет инвестируется 2 тыс. руб. На поступающие платежи ежемесячно начисляются сложные проценты по годовой ставке 12 %. Какова величина вклада через 2 года? Какую сумму нужно разместить инвестору на депозитный счет для получения такой же величины вклада через 2 года в предположение, что проценты начисляются по той схеме – ежемесячно?

Решение

Из условия примера член ренты C=2 тыс. руб., длительность рентыn=24 (мес.), месячная процентная ставкаr=12%/12=1%=0,01 (1/мес.).

Сначала, для определения величина вклада через 2 года воспользуемся формулой (3.6) вычисления будущего значения обыкновенной дискретной ренты

тыс. руб.

Затем, для определения суммы, которую нужно разместить инвестору на депозитный счет, воспользуемся формулой (3.5) вычисления современного значения обыкновенной дискретной ренты:

тыс. руб.

Таким образом, размещение суммы 42,48677 тыс. руб. на депозитный счет для начисления ежемесячно сложных процентов по годовой ставке 12 % позволит инвестору получить ту же сумму вклада 53,9493 тыс. руб.

Пример 38

Банк Nдает кредит под 24 % годовых. Один из вариантов кредитного договора имеет следующий вид:

«Кредит на 50 тыс. руб. погашается ежемесячными платежами в размере 2 тыс. руб. Половина суммы идет на обслуживание кредита, другая половина – на погашение кредита. Банк Nдополнительно сообщает клиенту о моменте погашения кредита».

Таким образом, ежемесячно в счет погашения заемщик платит 1 тыс. руб.

Сколько должно быть выплат, чтобы погасить кредит? Каков срок погашения кредита, если процентная ставка будет снижена до 12 % или повышена до 28 % годовых?

Решение

В нашей задаче член ренты равен c= 1 тыс. руб., месячная процентная ставка равнаr= 24%/12 = 2 % = 0,02 (1/мес.), величина кредитаS(0)=50 тыс. руб., а неизвестным является срок рентыn.

Воспользуемся формулой (3.14) вычисления современного значения непрерывной ренты:

Отсюда найдем количество выплат n

или

Окончательно

(3.18).

В нашем случае имеем S(0) = 50 тыс.руб.;C= 1 тыс. руб.;r=0,02. Подставив исходные данные в полученную формулу, вычислим количество выплатn

Так как, прии, следовательно,n→+∞.

Таким образом, срок погашения кредита равен +∞, то есть клиент, заключивший договор с банком N, будет должен ему вечно.

Возможно, в рассуждениях и расчетах имеется ошибка, рассмотрим задачу с другой стороны. Если сумма выплат С постоянна, а количество выплатnстремится к бесконечности, то для современного значенияPV=S(0) такого потока платежей получим формулу (3.15):

В рассматриваемом случае, если клиент банка будет платить по тысяче рублей ежемесячно под r=2 % в месяц вечно, то он погасит кредит. Действительно

= 50 тыс. руб.

Пусть теперь процентная ставка снижена до 12 %. Рассчитаем количество выплат nпри этом значения процентной ставкиr=12 %/12=1 %=0,01

Таким образом, для погашения кредита в 50 тыс. руб. на условиях предложенных банком Nпри небольшом проценте 12 % годовых потребуется 70 выплат по 2 тыс. руб. т. е. 140 тыс. руб. в течение 70/12=5,8333 лет.

Если процентная ставка будет повышена до 28 % , то современное значение PV=S(0) приr=28 %/12=2,333% иC=1 тыс. руб. для бесконечного потока платежей равно:

= 42,86 тыс. руб.

Полученная величина меньше суммы кредита в 50 тыс. руб., то есть, при годовой ставке в 28 %, даже выплачивая вечно, не удастся погасить сумму кредита. Потомки неосторожного клиента банка Nбудут перед ним в вечном долгу.

Для полноты приведем решение данного примера с использованием формулы дискретной ренты:

Отсюда число периодов начисления равно:

(3.19)

Формулы (3.18) и (3.19) отличаются только знаменателем, но при малых значениях процентной ставки rсогласно замечательному пределуln (1+r)примерно равенrи знаменатели практически совпадают и, следовательно, все полученные выше результаты остаются в силе.

Пример 39.

Ссуда в 10 млн руб. выдана под 12 % годовых (т. е. 1 % месячных) и требует ежемесячной оплаты по 130 тыс. руб. и выплаты остатка долга к концу срока в 10 лет. Каков остаток долга D?

Решение.

В задаче месячная ставка равна r=1 % (1/мес.), число выплатn=10*12=120 (мес.), ежемесячные выплатыc=130 тыс. руб.=0,13 млн руб., ссуда равнаS(0)=10 млн руб. Неизвестным является остаток долгаD.

Поток платежей для данной задачи имеет вид:

Рис. 3.7.

Следовательно, приведенный доход S(0)=PVравен:

Отсюда, остаток долга:

Подставляя численные значения, получим:

млн руб.

Следовательно, долг равен D=3,098839 млн руб.

Задача 12

Владелец оливковой рощи сдал её в «вечную» аренду. Арендатор, начиная с 2010 года, переводит 1 января каждого года на банковский счет владельца оливковой рощи арендный платеж в размере $40 тыс. Банк ежегодно начисляет на вклад сложные проценты, исходя из годовой процентной ставки 5 %. Какова выкупная цена оливковой рощи на 1 января 2010 года? Найти выкупную цену оливковой рощи на 1 января 2015 года.

Ответы и указания:

Выкупная цена оливковой рощи на 1 января 2010 года определяется по формуле вечной ренты пренумерандо:

тыс.

Выкупная цена оливковой рощи на 1 января 2015 года равна:

$1072,077 тыс.