Сезонные колебания могут быть отражены СС-моделями двух типов
мультипликативной и аддитивной . |
|
Мультипликативная модель Уинтерса имеет вид: |
|
Yp(t,k) = (A0(t) + A1(t)k)F(t - L + k) |
(14) |
Ee коэффициенты модифицируются следующим образом: |
|
A0(t) = α 1Y(t) / F(t - L) + (1 - α 1)(A0(t - 1) + A1(t - 1)); |
(15) |
A1(t) = α 2(A0(t) - A1(t - 1)) + (1 - α 2) A1(t - 1); |
(16) |
F(t) = α 3Y(t) / A0(t) + (1 - α 3) F(t - L); |
(17) |
где α - коэффициенты сглаживания (адаптации) каждого из параметров модели, |
|
изменяющиеся в пределах от нуля до единицы; |
|
F(L) - мультипликативные сезонные коэффициенты. |
|
Данная модель отличается от модели Хольта наличием L сезонных коэффициентов F. Индекс у сезонного коэффициента берется как остаток результата
его деления на период сезонности. |
|
Адаптивная модель имеет вид: |
|
Yp(t,k) = A0(t) + A1(t)k + S(t - L + k); |
(18) |
A0(t) = α 1(Y(t) - S(t - L)) + (1 - α 1)(A0(t - 1) + A1(t - 1)); |
(19) |
A1(t) = α 2(A0(t) - A1(t - 1)) + (1 - α 2) A1(t - 1); |
(20) |
S(t) = α 3(Y(t) - A0(t)) + (1 - α 3) S(t - L); |
(21) |
где S(L) - аддитивные сезонные коэффициенты. |
|
7.4 Метод адаптивного прогнозирования
Все адаптивные модели базируются на двух схемах: скользящего среднего (ССмодели) и авторегрессии (АР-модели).
В практике статистического прогнозирования наиболее часто используются две базовые СС-модели: Брауна и Хольта, первая из которых является частным случаем второй. Эти модели представляют процесс развития как линейную тенденцию с постоянно изменяющимися параметрами. Прогнозная оценка Yp(t,k) уровня ряда Y(t+k), вычисляются в момент времени t на k шагов вперед:
Yp(t,k) = A0(t) + A1(t) k, (1) |
(23) |
где A0(t) - оценка текущего (t-го) уровня; |
|
A1(t) - оценка текущего прироста. |
|
Далее определяется величина их расхождения (ошибки). При k=1 имеем: |
|
e(t+1) = Y(t+1) - Yp(t,1). |
(24) |
В соответствии с этой величиной корректируются параметры модели. В модели |
|
Брауна модификация осуществляется следующим образом: |
|
A0(t) = A0(t-1) + A1(t-1) + (1- β 2) e(t); (25) |
|
A1(t) = A1(t-1) + (1- β )2 e(t); |
(26) |
где β - коэффициент дисконтирования данных, изменяющийся в пределах от 0 до
1;
α - коэффициент сглаживания (α = 1 - β );
е(t) - ошибка прогнозирования уровня Y(t), вычисленная в момент времени (t-1) на один шаг вперед.
В модели Хольта коэффициенты модифицируются следующим образом:
A0(t) = A0(t-1) + A1(t-1) + α 1 e(t); |
(27) |
A1(t) = A1(t-1) +α 1 α 2 e(t); |
(28) |
где α 1,α 2 - коэффициенты сглаживания (адаптации), изменяющиеся в пределах от 0 до 1.
Модель Брауна может отображать развитие не только в виде линейной
35
тенденции, но в виде случайного процесса, не имеющего тенденции, а также в виде параболической тенденции. Соответственно различают модели Брауна:
o нулевого порядка, которая описывает процессы, не имеющие тенденции развития: она располагает лишь одним параметром А0 (оценка текущего уровня). Прогноз развития на k шагов вперед осуществляется согласно формуле y(t+k)=А0. Такая модель еще называется “наивной” ( “будет, как было”);
o первого порядка (Yp(t,k) = A0(t) + A1(t) k);
o второго порядка, отражающей развитие в виде параболической тенденции
с изменяющимися скоростью и ускорением. Она имеет три параметра (А2 - оценка
текущего прироста или ускорение). Прогноз осуществляется по формуле: y(t+k) = A0 + A1k + A2k2.
АРмодели вообще не предназначены для описания процессов с тенденцией,
однако они достаточно точно описывают колебания, что весьма важно для отображения развития неустойчивых показателей. Ряды без тенденции, как правило, не представляют интереса для экономистов. Чтобы сделать возможным применение АР-моделей к процессам с тенденцией, на первом этапе формируют стационарный ряд, т.е. исключают тенденцию путем перехода от исходного временного ряда к ряду Z(t)
(t=1,2,... , N-d) первых или вторых разностей (d=1 или 2): |
|
Z(t) = Y(t), t=1,2,...,N, при d=0; |
29 |
Z(t) = Y(t+1)-Y(t), t=1,2,...,N-1, d=1; |
30 |
Z(t) = Z(t+1) - Z(t), t=1,2,...,N-2, d=2 |
31 |
Например, ряд первых разностей формируется как ряд приростов, т.е. |
|
последовательным вычитанием двух соседних уровней. |
|
С учетом этого АР(р) -модель порядка р имеет вид: |
|
Z(t) = A0 + A1Z(t-1) + A2Z(t-2) +...+ ApZ(t-p) |
31 |
Параметры этой модели вычисляются по МНК с учетом сложности модели либо методом адаптивной фильтрации (МАФ).
Для идентификации порядка модели обычно используется автокорреляционная функция, значения которой определяются по формуле:
32
где n- количество уровней стационарного ряда n=N-d; m - номер коэффициента автокорреляции (m< n/3).
Вкачестве порядка модели принимается номер коэффициента автокорреляции r(m) , имеющего максимальную величину. Следовательно, в модели используются р уровней, которые оказывают на текущий уровень наибольшее влияние.
Вадаптивных моделях скользящего среднего (см. модели Брауна, Хольта)
параметры вычисляются последовательно, от уровня к уровню, и их значения для последнего уровня определяют окончательный вид модели. Начальные значения параметров оцениваются по МНК на основе нескольких (например, пяти) первых уровней ряда.
В адаптивных АРмоделях вида
Z(t) = A0 + A1Z(t-1) + A2Z(t-2) +...+ ApZ(t-p) параметры вычисляются по МНК с учетом сложности модели.
В соответствии с МНК формируется система из р уравнений, которая в компактной форме имеет вид:
33
36
Например, для р=2 система принимает вид: |
|
|
||
|
A1 Σ Z(t-1)2 + A2 Σ Z(t-1)Z(t-2) = Σ Z(t-1)Z(t); |
34 |
||
|
A1 Σ Z(t-1)Z(t-2) + A2 Σ Z(t-2)2 = Σ Z(t-2)Z(t); |
35 |
||
В ней суммирование производится по параметру t в пределах от 3 до n=N-d. |
||||
Решив эту систему уравнений, получают числовое значение А1, А2,..., Ар. Оценка |
||||
свободного члена определяется из соотношения: |
|
|
||
|
|
А0=Zcp (1 - (A1 + A2 + ... + Ap)). |
36 |
|
|
|
Пример |
|
|
t |
|
ФактY(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
34 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
42 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
51 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
55 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
67 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
73 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
76 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
81 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
Y(t) |
t-tcp |
(t-tcp)2 |
Yt - Ycp |
(t-tcp)(Yt - Ycp) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
34 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
42 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
51 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
55 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
207 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
37
Таблица. Оценка начальных значений параметров модели
t |
Y(t) |
t-tcp |
(t-tcp)2 |
Yt - Ycp |
(t-tcp)(Yt - Ycp) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
25 |
-2 |
4 |
-16,4 |
32,8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
34 |
-1 |
1 |
-7,4 |
7,4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
42 |
0 |
0 |
-0,6 |
0,0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
51 |
1 |
1 |
9,6 |
9,6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
55 |
2 |
4 |
13,6 |
27,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
207 |
0 |
10 |
0 |
77 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Используя данные таблицы, получим:
Ycp = 41,4 tcp = 3
a1(0)=7,7 (средний прирост) a0(0)=18.3
Примем k=1 и β =0,6. Расчет первых двух шагов приведен ниже, остальные отражены в таблице.
t=1 Yp(1) =a0(0) +a1(0)k = 18.3 +7,7 1 = 26 E(1) = Y(1) - Yp(1) = 25 - 26 = -1
a0(1) = Yp(1) + E(1)(1- β 2) = 26 - 1 0,64 =25.36 a1(1) = a1(0) + E(1)(1- β )2 = 7,7 - 1* 0,16 = 7,54 t=2 Yp(2) =a0(1) +a1(1)k = 25,36 +7,54*1 = 32.9 E(2) = Y(2) - Yp(2) = 34 – 32.9 = 1,1
a0(2) = Yp(2) + E(2)(1- β 2) = 32,9 +1.1 0,64 = 33,6 a1(2) = a1(1) + E(2)(1- β )2 = 7,54+1,1 0,16 = 7,716
38