Тема 9. Экономико-математические методы

параметры которой а0 и а1 находятся в результате решения системы нормальных уравнений, которая формируется на основе метода наименьших квадратов. Система нормальных уравнений для рассматриваемого случая имеет вид:

na0 + (∑x1)a1 = ∑y (∑x1)a0 + (∑x12)a1 = ∑yx1

Используя данные таблицы получаем систему уравнений

Уравнение 1 называется уравнением регрессии, коэффициент a1 – коэффициентом регрессии. Направление связи между у и х1 определяет знак коэффициента регрессии a1. В нашем случае связь является прямой. Теснота этой связи определяется коэффициентом корреляции:

ryx1 = 1 − S2 yx1 S2 y

где Sy – средняя квадратическая ошибка выборки у и определяется по формуле:

ỷ - средняя арифмитическая значений у

Syx1 – средняя квадратическая ошибка уравнения для числа степеней свободы

n-2:

Syx1 = (yn−−y2)2

где ỷ - соответствующее значение у, вычисленное по модели.

Чем ближе значение корреляции к единице тем теснее корреляционная связь. В нашем примере S2y = 454070, S2yx1 = 63846, следовательно

ryx1 = 1 − 45407063846 = 0.927

Полученное значение свидетельствует, что связь между исследуемыми переменными очень тесная.

Величина r2yx1 называется коэффициентом детерминации и показывает долю изменения результативного показателя под действием факторго признака. В нашем случае r2yx1 = 0,859, это означает что фактором х1 можно объяснить почти 86% изменения у.

Коэффициенты регрессии нельзя использовать для непосредственной оценки влияния факторов на результативный признак из-за различия единиц измерения исследуемых показателей. Для этой цели вычисляют коэффициент эластичности.

Коэффициент эластичности рассчитывается по формуле:

55

Эyx1=a1yx1

Он показывает насколько процентов изменяется результативных показатель при изменении факторного признака х1 на один процент. В нашем примере коэффициент регрессии равен 0,1257, а средние арифметические х1 и у равны соответственно 6080,6 и 1313,9. Поэтому коэффициент эластичности будет равен 0,58. Это означает что при увеличении х1 на 1% у увеличится на 0,58%.

Рассмотрим теперь двухфакторную линейную модель зависимости у от х1 и х2. Многофакторный корреляционно-регрессионный анализ решает теже задачи. В нашем случае модель имеет вид:

у = а0 + а1х1 + а2х2.

Параметры модели а0, а1, а2 находятся путем решения системы нормальных уравнений :

na0 + (∑x1)a1 + (∑x2)a2 = ∑y

(∑x1)a0 + (∑x12)a1 + (∑x1x2)a2 = ∑yx1

(∑x2)a0 + (∑x1x2)a1 + (∑x22)a2 = ∑y

Используя данные таблицы получим систему нормальных уравнений в виде:

9a0 + 54725a1 + 27,9a2 = 11825

54725a0 +540789321a1 + 194341,8a2 = 98049159 27,9a0 + 194341,8a1 + 92,1a2 = 40391,7

Решая эту систему получим а0 = 18,63; а1 = 0,0985; а2 = 224,6 Так что модель имеет вид

у = 18,63 + 0,0985х1 + 224,6х2.

Для определения тесноты связи предварительно рассчитываются парные коэффициенты корреляции ryx1, ryx2, rx1x2. Например

yx1−yx1 ryx1= SySx1

где Sy и Sx1 – средние квадратические ошибки соответствующих выборок. Аналогичный вид имеют формулы для ryx2 и rx1x2.

После этого вычисляют коэффициент множественной корреляции

56

который колеблется в пределах от 0 до 1. Чем биже к 1 тем в большей степени учтены факторы, влияющие на результативный признак.

В нашем примере коэффициент множественной корреляции равен 0,983 что выше значения коэффициента корреляции в случае однофакторной модели. Таким образом степень тесноты связи является достаточно высокой.

9.2 Этапы построения многофакторной корреляционно-регрессионной модели

Разработка модели и исследование экономических процессов должны выполняться по следующим этапам.

1.Априорное исследование экономической проблемы.

2.Формирование перечня факторов и их логический анализ.

3.Сбор исходных данных и их первичная обработка.

4.Определение функции регрессии.

5.Оценка функции регрессии.

6.Отбор главных факторов.

7.Проверка адекватности модели.

8.Экономическая интерпретация.

9.Прогнозирование неизвестных значений зависимой переменной. Рассмотрим подробнее содержание этапов.

1Априорное исследование экономической проблемы.

В соответствии с целью работы на основе знаний экономики конкретизируются

явления, процессы, зависимость между которыми подлежит оценке. При этом подразумевается прежде всего четкое определение экономических явлений, установление объектов и периода исследования.

2.Формирование перечня факторов и их логический анализ. Для определения наиболее разумного числа переменных в регрессионной модели прежде всего ориентируются на соображения профессионально-теоретического характера. Исходя из физического смысла явления, производят классификацию переменных на зависимую и объясняющую.

3.Сбор исходных данных и их первичная обработка. При построении модели

исходная информация может быть собрана в трех видах:

•динамические (временные) ряды;

•пространственная информация — информация о работе нескольких объектов в одном разрезе времени;

•сменная — табличная форма. Информация о работе нескольких объектов за разные периоды.

Объем выборки зависит от числа факторов, включаемых в модель с учетом свободного члена. Для получения статистически значимой модели требуется на один фактор объем выборки, равный 5-8 наблюдений. Например, если в модель включаются три фактора, то минимальный объем выборки

nmin = 5*(m+n) = 5*(3+ 1) = 20,

где т — число факторов, включаемых в модель; n — число свободных членов в уравнении.

4. Определение функции регрессии.

На данном этапе исследования делается вывод о форме связи (линейная или нелинейная, простая или множественная и т. д.).

5. Оценка функции регрессии.

57

Здесь определяются числовые значения параметров регрессии и вычисление ряда показателей, характеризующих точность регрессионного анализа.

6. Отбор главных факторов.

Выбор факторов — основа для построения многофакторной корреляционнорегрессионной модели.

На этапе «Формирование перечня факторов и их логический анализ» собираются все возможные факторы, обычно более 20—30 факторов. Но это неудобно для анализа, и модель, включающая 20—30 факторов, будет неустойчива.

Мало факторов — тоже плохо. Это может привести к ошибкам при принятии решений в ходе анализа модели. Поэтому необходимо выбирать более рациональный перечень факторов.

Процедура отбора главных факторов обязательно включает следующие этапы: 1 Анализ факторов на мультиколлинеарность и ее исключение.

Мультиколлинеарность — попарная корреляционная зависимость между факторами. Мультиколлинеарная зависимость присутствует, если коэффициент парной корреляции >=0,70 - 0,80.

Для этого проводится анализ значений коэффициентов парной корреляции rij между факторами xi и xj

2 Анализ тесноты взаимосвязи факторов (х) с зависимой переменной (у).

Для анализа тесноты взаимосвязи х и у используются значения коэффициента парной корреляции между фактором и функцией rxiy. Факторы, для которых rxiy = 0, т.е. не связанные с у, подлежат исключению в первую очередь. Факторы, имеющие наименьшее значения rxiy., могут быть потенциально исключены из модели. Вопрос об их окончательном исключении решается в ходе анализа других статистических характеристик.

7 проверка адекватности модели

Данный этап анализа включает

- оценку значимости коэффициента детерминации. Данная оценка необходима для решения вопроса: оказывают ли выбранные факторы влияние на зависимую переменную?

Для оценки значимости коэффициента множественной детерминации используется следующая статистика:

F = Д(n − m −1) m(1 − Д)

которая имеет F-распределение с f1 = m и f2 = n — т — 1 степенями свободы. Здесь Д = R2, а т - количество учитываемых объясняющих переменных (факторов).

Значение статистики F, вычисленное по эмпирическим данным, сравнивается с табличным значением Ff1f2λ Если F > Ff1f2λ, то вычисленный коэффициент детерминации значимо отличается от 0 и, следовательно, включенные в регрессию переменные достаточно объясняют зависимую переменную, что позволяет говорить о значимости самой регрессии (модели);

- проверку качества подбора теоретического уравнения. Она проводится с использованием средней ошибки аппроксимации. Средняя ошибка аппроксимации регрессии определяется по формуле:

58