Тема 8. Методы моделирования
8.1Матричные модели
8.2Оптимизационные модели
8.3Модели принятия решений
8.4Имитационные модели
8.1Матричные модели
Моделирование предполагает конструирование модели на основе предварительного изучения объекта или процесса, выделения его существенных характеристик или признаков. Прогнозирование экономических и социальных процессов с использованием моделей включает разработку модели, ее экспериментальный анализ, сопоставление результатов прогнозных расчетов на основе модели с фактическими данными состояния объекта или процесса, корректировку и уточнение модели.
В зависимости от уровня управления экономическими и социальными процессами различают макроэкономические, межотраслевые, межрайонные, отраслевые, региональные модели и модели микроуровня (модели развития фирмы).
По аспектам развития экономики выделяют модели прогнозирования воспроизводства основных фондов, трудовых ресурсов, цен и др. Существует ряд других признаков классификации моделей: временной, факторный, транспортный, производственный.
В современных условиях в республике развитию моделирования и практическому применению моделей стала придаваться особая значимость в связи с усилением роли прогнозирования и переходом к индикативному планированию.
Рассмотрим некоторые из наиболее разработанных экономико-математических моделей, получивших широкое применение в практике прогнозирования экономики за рубежом (особенно в США) и используе мых (эпизодически) в странах СНГ.
Матричные модели. К ним относятся модели межотраслевого баланса (МОБ): статические и динамические.
Принципиальная схема межотраслевого баланса производства и распределения совокупного общественного продукта в стоимостном выражении приведена в табл. 1. В основу этой схемы положено разделение совокупного продукта на две части: промежуточный и конечный продукт; все народное хозяйство представлено в виде совокупности п отраслей (имеются в виду чистые отрасли), при этом каждая отрасль фигурирует в балансе как производящая и как потребляющая.
Таблица 1. Принципиальная схема межотраслевого баланса (МОБ)
Систему уравнений баланса можно написать в виде
43
(5)
Если ввести в рассмотрение матрицу коэффициентов прямых материальных затрат А = (аij), вектор-столбец валовой продукции Х и вектор-столбец конечной продукции Y:
то система уравнений (5) в матричной форме примет вид
X=AX+Y. (6)
Система уравнений (5), или в матричной форме (6), называется экономико-
математической моделью межотраслевого баланса (моделью Леонтьева, моделью
«затраты— выпуск» ). С помощью этой модели можно выполнять три варианта расчетов:
Задав в модели величины валовой продукции каждой отрасли (Xi), можно определить объемы конечной продукции каждой отрасли (YI):
(7)
Задав величины конечной продукции всех отраслей (Yi), можно определить величины валовой продукции каждой отрасли (Xi):
(8)
Для ряда отраслей задав величины валовой продукции, а для всех остальных отраслей задав объемы конечной продукции, можно найти величины конечной продукции первых отраслей и объемы валовой продукции вторых, в этом варианте расчета удобнее пользоваться не матричной формой модели (6), а системой линейных уравнений (5). В формулах (7) и (8) Е обозначает единичную матрицу n-го порядка, а (Е - А) -1 обозначает матрицу, обратную к матрице (Е - А). Если определитель матрицы (Е - А) не равен нулю, т.е. эта матрица невырожденная, то обратная к ней матрица существует. Обозначим эту обратную матрицу через В(Е - А)-1, тогда систему уравнений в матричной форме (8) можно записать в виде
Х = BY. |
(8') |
Элементы матрицы В будем обозначать через bij, тогда из матричного уравнения
(0) для любой i-й отрасли можно получить следующее соотношение:
(9)
Из соотношений (9) следует, что валовая продукция выступает как взвешенная сумма величин конечной продукции, причем весами являются коэффициенты bij, которые показывают, сколько всего нужно произвести продукции i-й отрасли для выпуска в сферу конечного использования единицы продукции j-й отрасли. В отличие от коэффициентов прямых затрат аij коэффициенты bij называются коэффициентами полных материальных затрат и включают в себя как прямые, так и косвенные затраты всех порядков. Если прямые затраты отражают количество средств производства, израсходованных непосредственно при изготовлении данного продукта, то косвенные относятся к предшествующим стадиям производства и входят в производство продукта не прямо, а через другие (промежуточные) средства производства.
В отличие от статических динамические модели призваны отразить не состояние, а процесс развития экономики, установить непосредственную взаимосвязь между предыдущими и последующими этапами развития и тем самым приблизить анализ на
44
основе экономико-математической модели к реальным условиям развития экономической системы.
Принципиальная схема первых двух квадрантов динамического межотраслевого баланса приведена в табл. 4.
Таблица 4. Принципиальная схема динамического баланса
Модель содержит две матрицы межотраслевых потоков. Матрица текущих производственных затрат с элементами Хij совпадает с соответствующей матрицей
статического баланса. Элементы второй матрицы ∆Фij показывают, какое количество продукции i-й отрасли направлено в текущем периоде в j-ю отрасль в качестве производственных капитальных вложений в ее основные фонды. Материально это выражается в приросте в потребляющих отраслях производственного оборудования, сооружений, производственных площадей, транспортных средств и др.
В статическом балансе потоки капиталовложений не дифференцируются по отраслям-потребителям и отражаются общей величиной в составе конечной продукции Yj каждой i-й отрасли. В динамической схеме конечный продукт Yi включает продукцию i-й отрасли, идущую в личное и общественное потребление, накопление непроизводственной сферы, прирост оборотных фондов, незавершенного строительства, на экспорт. Таким образом, сумма потоков капиталовложений и конечного продукта динамической модели равна конечной продукции статического баланса:
поэтому уравнение распределения продукции вида (2) в динамическом балансе преобразуется в следующее:
(27)
Межотраслевые потоки текущих затрат можно выразить, как в статической модели, через валовую продукцию отраслей с помощью коэффициентов прямых материальных затрат:
Xij = aijXj
В отличие от потоков текущих затрат межотраслевые потоки капитальных вложений связаны не со всей величиной выпуска продукции, а обусловливают прирост продукции; причем в рассматриваемой модели предполагается, что прирост продукции текущего
периода обусловлен вложениями, произведенными в этом же периоде. Если текущий
период обозначить через t, то прирост продукции ∆Xj равен разности абсолютных уровней производства в период t и в предшествующий (t - 1)-й период:
45
Полагая, что прирост продукции пропорционален приросту производственных фондов, можно записать:
(28)
Рассмотрим в равенстве (28) коэффициенты пропорциональности ϕij Поскольку
Сформированный на основе моделей межотраслевой баланс может использоваться для решения многих задач: прогнозирования макроэкономических показателей, межотраслевых связей и потоков (поставок), структуры экономики, отраслевых издержек, динамики цен, показателей эффективности производства (материалоемкости, энергоемкости, металлоемкости, химикоемкости, фондоемкости).
8.2 Оптимизационные модели
Модели оптимального планирования используются для определения оптимального варианта функционирования экономики в целом и ее отдельных звеньев. Экономикоматематическая модель представляет собой формализованное описание экономического процесса. Модель состоит из целевой функции и системы ограничений. Целевая функция описывает цель оптимизации и представляет собой зависимость показателя, по которому ведется оптимизация, от независимых переменных. Влияние каждой из переменных на величину целевой функции выражается коэффициентом — значением показателя, экстремум которого используется в качестве критерия оптимальности. Система ограничений отражает объективные экономические связи и зависимости и представляет собой систему равенств и неравенств. На макроуровне критерием оптимальности является максимум валового национального продукта. На микроуровпе в качестве критерия оптимальности могут быть использованы экстремумы показателей: максимум прибыли, минимум затрат, максимум выпуска продукции (услуг) и др.
Линейное программирование – направление математики, изучающее методы решения экстремальных задач, которые характеризуются линейной зависимостью между переменными и линейным критерием оптимальности.
Несколько слов о самом термине линейное программирование. Он требует правильного понимания. В данном случае программирование - это, конечно, не составление программ для ЭВМ. Программирование здесь должно интерпретироваться как планирование, формирование планов, разработка программы действий.
К математическим задачам линейного программирования относят исследования конкретных производственно-хозяйственных ситуаций, которые в том или ином виде интерпретируются как задачи об оптимальном использовании ограниченных ресурсов.
В общем виде модель записывается следующим образом:
Целевая функция (ЦФ)
L(X)=c1x1 +c2x2 +... +cnxn →max (min), |
(1.1) |
при ограничениях
46