Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Гродненский государственный университет им. Я. Купалы

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Контрольная по ВМатем

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.02.2016

Размер:

1.03 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 183 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

1	y ' = − sin x ln sin x + cos x	1	cos x
y		sin x

		cos	2	x
y ' = y	− sin x ln sin x +

		sin x

y ' = (sin x )	cos x	− sin x ln sin x +	cos2 x


			sin x

г) Дифференцируя обе части равенства, имеем

y= 1 + xe y

y' = e y + xe y y '

y'(1 − xe y ) = e y

y ' =

e y

1 − xe y

Т.к. по условию xe y = y −1 , то получаем

y ' =	e y	=	e y
y ' =	1 − y +1	=	2 − y
	1 − y +1		2 − y
				1
Задача 12. Дана функция f ( x) = 5				2− x в точке x	= 0 и x = 2
				1	2

а) Установить является ли функция непрерывной в этих точках б) Найти пределы слева и справа в) Сделать схематический чертеж

Решение:

В точке x = 0 функция непрерывна, т.е.

1	1

lim 52− x = f (0) =	5 = lim 52− x
x→0−ε		x→0+ε
В точке x = 2

предел слева

1 1

lim

lim 52− x = 5x→2−ε 2− x = 5+∞ = ∞

x →2−ε

предел справа

1 1

lim

lim 52− x = 5x→2+ε 2− x = 5−∞ = 0

x→2+ε

Схематичный чертеж на рис 1

Рисунок 1

Задача 13.

x + 1, если x ≤ 0

Дана функция y = x2, если 0 > x ≤ 2 ½ x + 3 , если x ≥ 2

Найти точки разрыва, если они существуют сделать чертеж.

Решение:

График функции изображен на рисунке

В точке x = 0	разрыв первого рода т.к. lim f (x) = 1
		x→0−ε
lim f (x) = 0
x→0+ε
В точке x = 2	разрыва нет. lim	f ( x) = lim f ( x) = 4
	x→ x +ε	x→ x −ε

В остальных точках функция непрерывна.

Задача 14.

a) С помощью преобразования графика функции y = sin x построить функцию y = −2 sin(2x + 2)

Решение:

От функции y = sin x к функции y = −2 sin(2x + 2) можно перейти с помощью следующей цепочки преобразований: y = sin x

y = sin 2x y = −2 sin 2x y = −2 sin 2( x + 1)

На рисунке изображены соответствующие графики:

б) Построить по точкам график функции y = −x2 + x − 2 +1

Решение:

Рассмотрим два случая

1) x – 2 ≥ 0	x ≥ 2	тогда	y = −x2 + x −1
2) x – 2 < 0	x < 2	тогда	y = − x2 − x + 3 строим график

Задача 15. Используя правило Лопиталя вычислить пределы:

а) lim

e3 x

− 3x −1 0

sin

x→0

(e3x −3x −1)'

3e3x −3

lim

= lim

x→0 (sin2

5x)'

x→0 2sin5x cos5x 5

= lim

(3e3x −3)'

= lim

9e3x

x→0 (5sin10x) '

x→0 50 cos10x 50

lim x 2 ln x = lim

ln x

−∞

x → 0

x → 0 1 x 2

∞

б)	(ln x ) '		1 x		1
= lim		= lim		= −		lim x 2 = 0

x → 0 (1 x 2 ) '		x → 0 −2 x 3			2 x → 0

cos x

lim ctgx −

= lim

−

x→0

sin x

в)

x cos x − sin x

(x cos x − sin x) '

= lim

x→0

x sin x

x→0

(x sin x) '

= lim

cos x − x sin x − cos x

= lim

−x sin x

x→0

sin x + x cos x

x→0 sin x + x cos x

−x2

sin x ~ x при x → 0

= lim

−x

x→0 x + x cos x

= lim

= 0

+ cos x

x→0

г) lim (ex + x )1 x

x→0

Имеем неопределённость вида 1∞ . Положим y = (ex + x )1 x и

прологарифмируем обе части равенства

ln y = 1x ln(ex + x)

Найдём

lim ln y = lim

ln(ex

+ x)

x→0

+ 1

(ln(ex + x)) '

= lim

+ x

1 + 1

= 2

x→0

x '

x→0

1 + 0

Поскольку

lim ln y = 2 , то

lim y = lim(ex + x)1 x = e2

x→0

Задача 16. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и, используя результаты исследования, построить её гра-

фик: y =

2( x + 1)2

Решение: Приведём схему полного исследования функции

1.Область определения функции

2.Чётность, нечётность, переодичность

3.Точки разрыва функции; приделы при x → k концам промежутков области определения; асимптоты

4.Интервалы возрастания и убывания функции, точки экстремума; вычислить значения экстремумов

5.Интервалы выпуклости и точки перегиба

6.Точки пересечения графика с осями координат

7.График

1. Функция f (x) определена, если	x + 1 ≠ 0
1. Функция f (x) определена, если	, значит
	x ≠ −1
D( y) = (−∞; −1) (−1; +∞)

2. Т.к. область определения функции D( y) не является симмет-

ричным множеством относительно начала координат, то функция f (x) не может быть чётной, нечётной и периодической.

3. Найдём пределы функций при x → k концам промежутков области определения

		x3		∞		( x3 ) '
lim	f (x) = lim		=		= lim		=

x→−∞	x→−∞ 2(x + 1)2			∞	x→−∞ (2( x + 1)2 ) '

	3x2		∞		6x
= lim		=		= lim		= −∞

x→−∞ 2(x + 1)			∞	x→−∞ 4

Аналогично, получаем что lim = +∞

x→+∞ 2(x + 1)2

Поскольку

lim

= −∞ , то точка x = −1 - точка разрыва второго

x→−1 2(x + 1)2

рода, а x = −1 - вертикальная асимптота.

Найдём наклонные асимптоты y = kx + b , где

k = lim

f ( x)

= lim

x→∞

x→∞ 2x(x + 1)2

x→∞ 2( x + 1)2

b = lim( y − kx) = lim

−

2( x + 1)2

x→∞

− x( x + 1)2

−2x2 − x

−2

= lim

= −1

2( x + 1)2

x→∞

x→∞ 2( x + 1)2

Следовательно, y =

− 1 - уравнение наклонной асимптоты

4. Производная

y ' =

3x2

2( x + 1)2 − x3 4( x + 1)

4(x + 1)4

определена на D( y)

2x3 + 6x2

2x2

(x + 3)

x2 ( x + 3)

4( x + 1)3

4(x + 1)3

2(x + 1)3

Поскольку y ' = 0 при x = −3 ,

x = 0 , то это критические точки

функции. Так как

		x2	(x + 3)	x < −3
y ' > 0	при	x2	(x + 3)	> 0 −1 < x < 0
y ' > 0	при	2(x + 1)3		> 0 −1 < x < 0
		2(x + 1)3
				0 < x < 1
y ' < 0	при	x2	(x + 3)	< 0 −3 < x < −1

		2(x + 1)3
		2(x + 1)3

то на интервалах (−∞; −3) , (−1;0), (0; +∞) функция возрастает, а

на интервале (−3; −1) - убывает.

При x = −3 функция имеет максимум, т.к. переходе через эту точку y ' меняет знак с «+» на « − ».

f (−3) = −

−3; −

, значит точка

- точка максимума.

5. Находим вторую производную

y " =

x3 + 3x2

2( x + 1)3

(3x2 + 6x) 2(x + 1)3 − ( x3

+ 3x2 ) 6( x + 1)2

4( x + 1)6

( x + 1)4

Она определена для x D( y) . Поскольку y " = 0 при x = 0 , то

определив знак y " на каждом из интервалов

(−∞; −1), (-1;0), (0; +∞) , получим, что для x (−∞; −1) (−1;0)

y " < 0 , график выпуклый; для x (0; +∞) y">0 график вогну-

тый.

При переходе через точку x = 0 производная y " меняет знак, по-

этому x = 0 - точка перегиба, причём f (0) = 0 .

6. График функции пересекает координатные оси в т. (0;0) .

Задача 17. По формуле Тейлора с остаточным членом в форме Ла-

гранжа у функции ex вычислить значение с точностью до 0.001

при a1 = 0.1 a2 = 0.2 .

Решение: Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа имеет вид

ex = 1 +	x	+	x2	+	x3	+ …+	xn	+ R

1! 2!				3!			n!	n

<<< < Предыдущая 1 23 / 183 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
06.12.2018103.94 Кб0Контр. работа SEMESTER 1.doc
#
08.05.20192.65 Mб7контрольная 3, варианты с 30 стр..docx
#
18.02.201666.97 Кб4КОНТРОЛЬНАЯ БУХУЧЕТ2.docx
#
07.12.20181.37 Mб2Контрольная МП_ЗО_09_10.doc
#
18.02.20161.54 Mб17Контрольная МП_ЗО_09_10.doc
#
18.02.20161.03 Mб28Контрольная по ВМатем.pdf
#
13.08.20191.54 Mб3контрольная по мат.программированию.doc
#
21.04.20193.01 Mб11контрольная по методам эл.измерений.doc
#
18.02.20161.21 Mб7контрольная работа 2с (з_о_полн)_2012.pdf
#
18.02.201629.7 Кб39Контрольная работа по Mathcad.doc
#
18.02.2016139.26 Кб20контрольная работа эк теор.doc