Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Гродненский государственный университет им. Я. Купалы

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Контрольная по ВМатем

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.02.2016

Размер:

1.03 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 182 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

е) уравнение прямой SD параллельной прямой АВ ж) площадь грани АВС

Решение:

а) Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки

Принимает вид:

x − x1	y − y1	z − z1		x − 4 y − 2 z − 5
x2 − x1	y2 − y1	z2 − z1	= 0 ,	− 4	5	− 3	= 0
x3 − x1	y3 − y1	z3 − z1		− 4	0	2

10( x − 4) + 12( y − 2) + 20( z − 5) + 8( y − 2) = 0 10x + 12 y + 20z + 8 y − 180 = 0

x + 2 y + 2z − 18 = 0

б) Уравнение прямой АВ, как прямой, проходящей через две точки, запишется так

x − x1 = y − y1 = z − z1

x2 − x1		y2 − y1			z2 − z1
	x − 4	=	y − 2	=	z − 5
	− 4				− 3
		5

в) Уравнение высоты SN, опущенной из вершины S на плоскость АВС можно записать как уравнение прямой, проходящей через точку S и перпендикулярной плоскости АВС, имеющей нормальный

вектор n = (1, 2, 2) , который для этой прямой будет направляющим

SN:	x −1	=	y − 5	=	z	или

	1	2		2

x = 1 + t

y = 5 + 2t , t

z = 2t

г) Найдем уравнение плоскости ВСS

x − 0

y − 7

z − 2

10x + 5( y − 7) + 5( z − 2) + 10x =

−5

= 0,

= 20x + 5 y + 5z − 45 = 0

−2

4x + y + z − 9 = 0

Косинус угла найдем по формуле

cosα

A1 A2 + B1B2 + C1C2

+ B2

+ C 2

* A2

+ B2

+ C 2

Отсюда

cosα =	1* 4 + 2 1 + 2 1		=	8	=	8


	1 + 4 + 4 * 16 + 1+ 1			17 * 18		306
	1 + 4 + 4 * 16 + 1+ 1			17 * 18		306
		α = arccos	8


			306
			306

д) Объем пирамиды

	1		x − x1		y − y1			z − z1
V =		mod	x	− x	y		− y	z		− z
						2			2
	6		2	1			1			1
			x3	− x1	y3 − y1			z3 − z1

0 − 4

7 − 2

2 − 5

−4 5 −3

V =

mod

− 4

2 − 2

7 − 5

mod

−4 0

− 4 5 − 2 0 − 5

−3 3

−5

36 − 30 + 24 −100

−70

е) Т.к. прямая SД параллельна АВ, то направляющие векторы пря-

мых совпадают l = (−4, 5, −3). Составим уравнение прямой SД, проходящий через точку S(1,5,0)

x −1	=	y − 5	=	z
−4				−3
	5

ж) Площадь грани вычислим по формуле

S =

AB, AC

5 3

−4 −3

−4 5

AB, AC

−4 5 −3

= i

− j

+ k

−4 2

−4 0

−4

= 10i + 20 j + 20k

S =

102 + 202 + 202 = 15

Задача 8. Привести к каноническому виду уравнение кривой

5x2 + 4xy + 8 y 2 + 8x +14 y + 5 = 0 и найти формулы преобразования координат.

Решение: Обозначим L( x, y) = 5x2 + 4xy + 8 y2
Матрица этой квадратичной формы имеет вид				5	2
Матрица этой квадратичной формы имеет вид
				2	8
Составим характеристическое уравнение матрицы
	5 − λ	2	= λ 2 −13λ + 36	= 0
	5 − λ	2
	2	8 − λ
	2	8 − λ

Откуда λ1 = 4, λ2 = 9

Найдем собственные векторы. Для λ = 4 имеем систему уравнений

α	+ 2α		= 0
1		2	α1 = −2α2

2α1 + 4α2 = 0

Тогда xα = (2t, −t ), t ≠ 0, t

Нормируя полученные векторы, находим

x′

= (

; −

)

α1

Для α 2 = 9 получаем систему

−4α1 + 2α

= 0

α2 = 2α1

2α1 − α2

= 0

′

Следовательно, xα1 = (t, 2t), t

≠

0, t

Нормируя полученные векторы, имеем

= (

;

)

α2

Таким образом, матрица преобразования координат

		2	1


		5	5
T =		5	5
	−	1	2


		5	5
		5	5

формулы преобразования осей координат имеют вид

	2		x′ +		1		y′
x =
x =
	5				5				, а	(1)
		1				2			, а	(1)
y = −		1		x′ +		2		y′
y = −				x′ +				y′
	5				5
	5				5

Подставив в уравнение данной кривой выражения для x и y из (1),
имеем
5(	2		x′ +		1	y ′)2 + 4(		2		x′ +				1					y ′)(−				x	′	+	2	y ′		) + 8(−	x	′	+	2	y ′	)2 +


5					5	5								5				5							5			5						5
+8(		2		x′ +	1		y ′) + 14(−			x	′	+			2		y ′			) + 5 = 0


5					5				5					5
После несложных преобразований получим
							4x′2 + 9 y′2 +						2			x′ +					36	y′ + 5 = 0


														5				5

Применив метод выделения полного квадрата, получим:


4( x′2 +	x′				) + 9( y′2 +				4		y′) + 5 = 0,


2		5		5
4(( x′ +	1			)2 −		1	) + 9(( y′ +					2		)2 −			4		) + 5 = 0,


4		5		80								5					5
4( x′ +	1		)2 + 9( y′ +					2		)2 + 5 −					1	−		36		= 0,


4		5		5								20					5
4( x′ +	1		)2 + 9( y′ +					2		)2 =			9


4		5		5								4

С помощью формулы параллельного переноса

x′ = x′′ −	1
x′ = x′′ −
	4 5
	2
y′ = y′′ −	2
y′ = y′′ −
	5
	5

получаем

4x′′2 + 9 y′′2 =	9		x′′2		y′′2
		или		+		= 1
	4		9 16		1 4

Это уравнение эллипс с полуосями a = 3 , b = 1 4 2

Задача 9. Методом параллельных сечений исследовать форму поверхности

x2 + y 2 − z 2 = 36

Решение: Будем пересекать поверхность горизонтальными плоскостями z = h .

Подставим z = h в уравнение. Получим

x2 + y 2 = h2 + 36

Откуда видно, что любом таком сечении получаются окружности

радиуса h2 + 36 , наименьшая из которых имеет радиус равный 6(h=0). Сечение плоскостями x=с дает гиперболы

y2 − z 2 = 36 − c2

Сечение плоскостями y = a , также дает гиперболы x2 − z 2 = 36 − a2

Координатные плоскости являются плоскостями симметрии. Поверхность изображена на рисунке

Задача 10: Найти предел функции не пользуясь правилом Лопиталя.

Решение:

а)

lim

− 3x + 2

= lim

( x − 1)( x − 2)

= lim

x −1

2 −1

= −1

x→2 x2

− 5x + 6

x→2

( x − 2)( x − 3)

x→2 x − 3

2 − 3

−1

б)

10x2

− 3x − 1

−

10 −

−

lim

= lim

x→∞ 5x2

+ 128x + 4

x→∞ 5x2

128x

x→∞

5 +

128

x2 +

+ x2

lim10 − lim

− lim

10 − 0 − 0

x→∞

x→∞ x

x→∞ x2

= 2

128

5 + 0 + 0

lim 5 + lim

+ lim

x→∞

x→∞ x

в)

(

− 3)(

+ 3)

x + 8

x + 8 − 3

lim

= lim

x→1

− x

x→1

x ( x − 1)( x + 8 + 3)

= lim

x + 8 − 9

= lim

x→1 x ( x − 1)(

x + 8

+ 3)

x→1 x (

x + 8

+ 3)

г)

lim

tg 2x

= lim

tg 2x 3x 2x

= lim

tg 2x

= 1 1

x→0 sin 3x

x→0 sin 3x 3x 2x

x→0

sin 3x

3 3

д)

x + 1

x − 1 + 1 + 1 x

( x − 1) + 2 x

lim

= lim

x→∞ x − 1

x→∞

x − 1

x→∞

x − 1

x −1

x−1

2 x

x −1

= lim

x→∞

x −

x→∞

x −

2 x

lim

2 x

= lim e x−1

= e2

= ex→∞ x −1

x→∞

Задача 11. Найти производную заданной функции

а) y =

− ln x

+ arcsin2 (ln (a3 + x3 ))

+ ln x

б) y = ex cos x + e ln(ax2 +bx+c)

в) y = (sin x )cos x

г) y = 1 + xe y

Решение:

Применяя правила дифференцирования и используя таблицу производных, находим:

		x	− ln x	'		'
y ' =	e				+ (arcsin2 (ln (a3 + x3 )))	=

ex			+ ln x

а)

(ex − ln x )' (ex + ln x ) − (ex − ln x )(ex + ln x )'

(ex

+ ln x )2

+2 arcsin (ln (a3

+ x3 )) (arcsin ln (a3

+ x3 ))'

ex −

(ex + ln x ) − (ex − ln x ) ex +

(ex + ln x )2

+2 arcsin (ln (a3

+ x3 ))

(a3

+ x3 )

1 − ln2 (a3 + x3 ) a3 + x3

e2 x −

+ ex ln x −

ln x

− e2 x + ln x ex −

ln x

(ex

+ ln x )2

+2 arcsin (ln (a3

+ x3 ))

3x2

1 − ln2 (a3 + x3 )

2ex ln x − 2

+ 2 arcsin(ln (a3

+ x3 )) *

+ x3

(ex + ln x )2

3x2

(a3 + x3 ) 1 − ln2 (a3 + x3 )

б)

y ' = (ex

cos x )

ln(ax2 +bx +c)

= ex

cos x −

+ e

(

sin x + e ln(ax2 +bx +c )

−ex

ln (ax2

+ bx + c )

(ln (ax 2 + bx + c ))'

= e x

(cos x − sin x ) + e

ln (ax 2 + bx + c )

= e x

(cos x − sin x ) + e

ln (ax 2 + bx + c )

(2ax + b )'

2 (ax2 + bx + c ) ln (ax2 + bx + c )

в)

y = (sin x )cos x

Прологарифмируем обе части:

ln y = ln (sin x )cos x

ln y = cos x ln sin x

Продифференцируем обе части

<<< < Предыдущая 12 / 182 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
06.12.2018103.94 Кб0Контр. работа SEMESTER 1.doc
#
08.05.20192.65 Mб7контрольная 3, варианты с 30 стр..docx
#
18.02.201666.97 Кб4КОНТРОЛЬНАЯ БУХУЧЕТ2.docx
#
07.12.20181.37 Mб2Контрольная МП_ЗО_09_10.doc
#
18.02.20161.54 Mб17Контрольная МП_ЗО_09_10.doc
#
18.02.20161.03 Mб28Контрольная по ВМатем.pdf
#
13.08.20191.54 Mб3контрольная по мат.программированию.doc
#
21.04.20193.01 Mб11контрольная по методам эл.измерений.doc
#
18.02.20161.21 Mб7контрольная работа 2с (з_о_полн)_2012.pdf
#
18.02.201629.7 Кб39Контрольная работа по Mathcad.doc
#
18.02.2016139.26 Кб20контрольная работа эк теор.doc