8.Теорема лиувилля. Функция статистического распределения

Т. Лиувилля гласит, что функция распределения в фазовом пространстве постоянна вдоль траекторий системы — плотность точек системы около данной точки системы, движущихся через фазовое пространство постоянно во времени. Ур-е Лиувилля описывает эволюцию во времени ф-ции расп-я в фазовом пространстве. Уравнение Лиувилля управляет эволюцией ρ(p,q;t) во времени t:

Это можно представить как движение через фазовое пространство «потока жидкости» точек системы, теорема означает, что конвективная производная плотности dρ / dt равна нулю, что следует из уравнения непрерывности, замечая, что поле скоростей в фазовом пространстве бездивергентно (это следует из гамильтоновых уравнений). Другая иллюстрация состоит в том, чтобы рассмотреть траекторию множества точек в фазовом пространстве. Легко показать, что множество траекторий растягивается в одной координате но сжимается по другой координате так, что произведение ΔpiΔqi остаётся константой. Ф-ция стат. распр-ия одно из основополагающих понятий статистической физики. Знание функции распределения полностью определяет вероятностные свойства рассматриваемой системы. Вероятность нахождения системы в элементе фазового пространства dw=ρ(q,p)dqdp9.10.14 СТАТИСТИЧЕСКИЙ ИНТЕГРАЛ. СТАТИСТИЧЕСКАЯ СУММА. КАНОНИЧЕСКИЙ АНСАМБЛЬ.

Закрытой системе в термодинамике, находящейся в тепловом равновесии с окружающими телами, в статистике соответствует канонический ансамбль.

Пусть система находится в тепловом контакте с термостатом, имеющим температуру Т. Поэтому температура системы постоянна и равна температуре термостата. Такой системой может быть часть большой изолированной системы. Представление о системе, находящейся в тепловом взаимодействии с термостатом, более соответствует реальным условиям, чем модель изолированной системы.

Ансамбль систем, соответствующий таким условиям, называется каноническим. Функция распределения для канонического ансамбля была найдена Гиббсом в 1901 г.гдеЕ(q,p) - энергия системы как функция его координат и импульсов всех частиц. Положительную величину  Гиббс назвал модулем канонического распределения. Он характеризует свойства термостата и имеет размерность энергии.  называют еще статистической температурой, потому что  обладает такими же свойствами, как и абсолютная температура Т в термодинамике. Чтобы установить связь между  и Т, нужно найти числовое выражение энергетических единиц через градусы:  = kT, где k - переходный множитель, связывающий джоули с градусами. Этот множитель является универсальной постоянной, численное значение которой может быть получено только из опыта. Величина k получила название постоянной Больцмана,.Коэффициент пропорциональности А, независящий от (q, p) – координат и импульсов всех частиц системы, определим из условия нормировки. Отсюда. Обратная ей величинаZ =1/A, занимает в статистической физике особое место. В классической статистике ее называют статистическим интегралом. (стат сумма тоже самое, тока сумма вместо интеграла)ПРО СТАТ.СУММУ В классической статистической механике было бы некорректно определять статистическую сумму в виде суммы дискретных членов, как в приведённой выше формуле. В классической механике координаты и импульсы частиц могут меняться непрерывно, и множество микросостояний несчётно. В таком случае необходимо провести разбиение фазового пространства на ячейки, то есть два микросостояния считаются одинаковыми, если их различия в координатах и импульсах «не слишком велики». При этом статистическая сумма принимает вид интеграла ВеличинаZ зависит кроме температуры Т от объема V. С учетом этого функция распределения для канонического ансамбля Гиббса запишется в таком виде Видно, что вероятность микросостояниядля канонического ансамбля одна и та же для любых наборов значенийq и p, реализующих данное значение энергии системы Е. Все состояния с данной энергией равновероятны. Но энергия может принимать различные значения.