1. Понятие множества. Действия над множествами.

Множество - это совокупность, набор элементов, объединенных общими свойствами.

Множества обозначаются заглавными латинскими буквами, а элементы множества строчными латинскими буквами.

Основные действия:

1. Принадлежность элемента множеству:

а € A, где а -- элемент и А -- множество

2. Непринадлежность элемента множеству:

а ¢ А, где а-- элемент и А – множество.

3. Объединение множеств: А U В .

Объединением двух множеств А и В называется множество С , которое состоит из элементов множеств А и В.

4. Пересечение множеств: А ∩ В .

Пересечением двух множеств А и В называется множество С , которое состоит из общих элементов множеств А и В.

5. Разность множеств: А \ В .

Разностью двух множеств А и В , например, множество А минус множество В , называется множество С , которое состоит из элементов множества А , которых нет в множестве В.

6. Д ополнение множества:  

Множество C называется дополнением множества A, если оно составлено из всех элементов, которые не принадлежат множеству A.

2. Элементы комбинаторики. Выборкой из множества A называется любая совокупность элементов множества А. Выборка называется выборкой без повторений, если все ее элементы различны между собой. В противном случае выборка называется выборкой с повторениями. Выборка называется упорядоченной, если порядок следования ее элементов фиксирован. Перестановкой из n различных элементов называются комбинации, которые состоят из n элементов и отличаются друг от друга только порядком их расположения. Число перестановок из n различных элементов обозначают P_n и подсчитывают по формуле: P_n=n! Размещением из n элементов по m элементов (m n) называются комбинации, состоящие из m элементов, взятых из данных n различных элементов, отличающихся друг от друга либо самими элементами, либо порядком их расположения. Число размещений из n элементов по m элементов обозначают   . Чтобы найти   используют формулу:

 

Сочетанием из n элементов по m элементов (m n) называются комбинации, состоящие из m элементов, взятых из данных n различных элементов, отличающиеся друг от друга только составом.

Число сочетаний из n элементов по m элементов обозначают  . Чтобы найти   используют формулу:

 

3. Комплексные числа. Операции над комплексными числами.

Комплексным числом называют упорядоченную пару (x, y) действительных чисел x и y.

z₁=(x₁, y₁),

z₂=(x₂, y₂).

Эти пары называют равными, если x₁=x₂, y₁=y₂, т.е.

(x₁, y₁)=(x₂, y₂)

Упорядоченную пару i=(0,1), удовлетворяющую соотношению i²=-1, называют мнимой единицей. С помощью мнимой единицы можно записать любое комплексное число z = (x, y).

Алгебраическая форма записи комплексного числа:

(x, y) = x + yi.

Число x называют действительной частью, число y - мнимой частью комплексного числа x+yi.

Обозначения: x = Re z, y = Im z, где Re - действительный, Im - мнимый.

Суммой двух комплексных чисел называют комплексное число определяемое равенством:

z₁ + z₂ =(x₁ + x₂)+i(y₁+y₂), а разностью: z₁ - z₂ =(x₁ - x₂)+i(y₁-y₂).

Произведением – комплексное число, определяемое равнством:

z₁z₂ =(x₁x₂ - y₁y₂)+i( x₂y₁+x₁y₂), а частным:

4.Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическоя и показательная форма записи.

Модулем комплексного числа z=x+yi называют длину r отрезка ОМ, где О — начало координат, М(x, y) — точка, изображающая это комплексное число. Модуль комплексного числа z= x + yi обозначают символом

r=|OM|, r=|z|.

r=|z|=

Аргументом комплексного числа z=x+yi называют величину угла φ наклона отрезка ОМ к оси Ох.

Обозначается : Arg z.

Аргумент комплексного числа z имеет бесконечное множество значений, отличающихся одно от другого на число, кратное 2π.

Главное значение аргумента - одно и только одно значение, заключенное между -π и π, включая последнее.

Обозначается: arg z.

Arg z = arg z+2kπ (k = 0,±1,±2,...),

- π <arg z ≤ π.

Тригонометрическая форма записи комплексного числа: z = r ( cos φ + isin φ)

Показательная (экспоненциальная)форма записи комплексного числа z = rе^iφ

5.Возведение в степень и извлечение корня из комплексного числа.

Формула Муавра:

z₁ⁿ=(r ( cosφ + i sinφ))ⁿ = r ⁿ ( cos nφ + i sin nφ)

Эта формула используется для возведения в степень комплексного числа.

Формула Муавра-Лапласа для извлечения корня n-ой степени из комплексного числа:

Выведем формулу нахождения корня степени n из комплексного числа z₁:

z₂ⁿ = z₁,

z₁=r (cosφ + i sinφ), z₂ = ρ (cosθ +i sinθ);

6.Матрицы. Действия над матрицами.

Матрицей порядка (размерности) m  n называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов.

Две матрицы называются равными между собой, если равны их все соответствующие элементы.

Матрица A^T называется транспонированной к матрице A, если строки матрицы A являются столбцами матрицы A^T.

Если A^T = A, то матрица A называется симметричной

Квадратной матрицей называется матрица, у которой число строк равно числу столбцов.

1) Сложение(Вычитание)

Складывать(Вычитать) можно матрицы одного порядка.

Суммой(Разностью) двух матриц и называется матрица , каждый элемент которой равен сумме(разности) соответствующих элементов исходных матриц.

3) Умножение матрицы на число.

Результатом умножения матрицы на число называется матрица каждый элемент которой равен произведению данного числа и соответствующего элемента исходной матрицы.

4) Умножение матрицы на матрицу.

Произведением двух матриц и называется матрица , каждый элемент которой равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы и j-го столбца матрицы .