7.Определители. Свойства определителей.

Каждой квадратной матрице A можно поставить в соответствие некоторое число, которое называется определителем и обозначается

Свойства определителей

1. Если определитель транспонировать, то его значение не изменится.

2. Если в определителе поменять местами любые две строки или столбца, то он изменит знак.

3. Если любую строку (столбец) определителя умножить на число, то получим определитель равный исходному, умноженному на это число.

Другими словами, общий множитель элементов любой строки (столбца) можно вынести за знак определителя.

4. Если все элементы какой-либо строки (столбца) определителя равны нулю, то определитель равен нулю.

5. Если соответствующие элементы каких-либо двух строк (столбцов) равны между собой, то определитель равен нулю.

6. Если к элементам какой-либо строки (столбца) определителя прибавить элементы другой строки (столбца) этого же определителя, умноженные на любое число, то значение определителя не изменится..

8.Обратная матрица. Ранг матрицы.

Матрица называется обратной к матрице A , если выполняются равенства:

Нахождение обратной матрицы

─ определитель матрицы A

─ алгебраическое дополнение

Квадратная матрица называется (не)вырожденной, если ее определитель (не) равен нулю.

Замечание. Для того, чтобы у матрицы существовала обратная необходимо и достаточно, чтобы матрица была невырожденной.

Рангом матрицы называется наибольший порядок отличного от нуля минора этой матрицы.

9.Системы линейных уравнений. Решение слу.

Системой из m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными называется система вид

─ матрица коэффициентов ─ столбец неизвестных

─ столбец свободных коэффиц. ─ матричная форма записи системы

─ операторная форма записи системы

Правило Крамера

─ решение системы

Метод обратной матрицы

Метод Гаусса

Прямой ход

Привести матрицу к треуг.виду(по главной диагонали сделать нули.

Если в прямом ходе получается строчка где все нули и последнее сисло не равно нулю,то решений нет.

Если в конце кол-во строк меньше кол-ва неизвестных,то система будет иметь бесконечное кол-во решений, если равно,то одно решение.

10.Однородные системы уравнений.

Система вида

называется однородной системой линейных уравнений.

Замечание. Однородная система линейных уравнений всегда совместна.

Решение однородной системы

называется тривиальным.

Т.1 Для того, чтобы однородная система линейных уравнений имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы коэффициентов был меньше количества неизвестных, т.е.

Достаточность. Пусть По теореме Кронекера – Капелли система совместна и имеет бесконечное количество решений (хотя бы одно ненулевое).

Следствие. Если число уравнений однородной системы равно числу неизвестных, то она имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда определитель матрицы коэффициентов равен нулю.