11. Векторы. Линейные операции над векторами

Вектором называется направленный отрезок. Если начало вектора находится в точке А, а конец – в точке В, то вектор обозначается . Если же начало и конец вектора не указываются, то его обозначают строчной буквой латинского алфавита a, b, c ,…. Через обозначают вектор, направленный противоположно вектору . Вектор, у которого начало и конец совпадают, называется нулевым и обозначается . Его направление является неопределенным.

Длиной или модулем вектора называется расстояние между его началом и концом. Записи |АВ| и |a| обозначают модули векторов АВ и a.

В екторы называются коллинеарными, если они параллельны одной прямой, и компланарными, если они параллельны одной плоскости. Два вектора называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и равны по длине.

Линейные операции над векторами:

• Сложение векторов. Пусть   и   – два произвольных вектора. Возьмем произвольную точку О и построим вектор  ; затем от точки А отложим вектор  . Вектор , соединяющий начало первого слагаемого вектора с концом второго, называется суммой этих векторов и обозначается 

П онятие суммы можно обобщить на случай любого конечного числа слагаемых

• Вычитание векторов. Разностью   векторов  и   называется такой вектор , который в сумме с вектором   дает вектор  :    Û  .

• Умножение вектора на число. Произведением вектора   на действительное число   называется вектор   (обозначают  ), определяемый следующими условиями:

  1. ,

  2.  при   и   при  .Очевидно, что при    .

Свойства линейных операций:

1)    + ;

2)      + ;

3)     ; ;

4)     ;

5)     ;

6)     ;

7)      ; ;

13.Векторное произведение

Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , удовлетворяющий условиям:

1.

2.

3. — правая тройка. Обозначается:

Свойства векторного произведения

1.

2.

3.

4.

15.Системы векторов. Линейная зависимость.

Упорядоченная совокупность n действительных чисел называется n-мерным вектором.

Числа называются координатами вектора.

Совокупность всех n-мерных векторов, для которых определены линейные операции называется n-мерным векторным пространством и обозначается

Система векторов называется линейно зависимой, если существуют числа хотя бы одно из которых не равно нулю, такие, что справедливо равенство

1. Если среди векторов системы есть нулевой, то система линейно зависима.

2) Если среди векторов системы есть ( ) линейно зависимых векторов, то система линейно зависима.

3) Для того, чтобы система векторов была линейно зависима, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из ее векторов линейно выражался через остальные.