20. Прямая в пространстве.

1.Уравнение прямой, проход через две данные точки: y-y₁/y₂-y₁= x-x₁/x₂-x₁=z-z₁/z₂-z₁

2.Уравнение прямой, проходящей через точку М_o(x₀,y₀) и параллельной вектору а(e,m,n):

x-x₀/e= y-y₀/m=z-z₀/n

3.Общее уравнение прямой: как линия пересечения двух плоскостей. система из (1) и (2):

(1) A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0 (2)A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0.

4. Угол между прямыми – уго между направляющими векторами a₁(e₁,m₁,n₁) и a₂(e_2,m₂,n₂):

cosφ=e₁e₂+m₁m₂+n₁n₂ / √e₁²+m₁²+n₁² * √e₂²+m₂²+n₂².

21.Уравнения плоскости.

Если дан нормальный вектор плоскости и некоторая точка то уравнение плоскости будет иметь вид

Уравнение плоскости в пространстве:

Угол между плоскостями равен углу между нормальными векторами плоскостей: . Если плоскости параллельны, то векторы коллинеарны(т.е. ). Если плоскости перпендикулярны, то векторы ортогональны (т.е. )

22. Эллипс

Эллипс есть геометрическое место точек на плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению

Свойства эллипса

1.Симметрия относительно осей координат и начала координат.

2,

3. I-я четверть:

|x|≤a; |y|≤b

Вершина: А₁(-а; 0), А₂(а; 0), А₁(0; -в), А₂(0; в)

Центр: О(0;0)

Большая полуось: А₁ А₂= а Малая полуось: В₁ В₂= в

Фокусы: F₁(-c; 0), F₂(c; 0)

c²=a² – b², 0≤ c ≤ a

T1. Точка M плоскости принадлежит эллипсу тогда и только тогда, когда сумма расстояний от фокусов F₁ и F₂ до точки M равна 2a.

Доказательство

Необходимость

Пусть точка лежит на эллипсе. Покажем, что

Достаточность.

Пусть

─ эксцентриситет эллипса

b →a, (вытянутый); (шар)

c²=b²-a² , b>a (вытянут вверх)

- с центром в точке М(х₀; у₀)

23.Гипербола

Гипербола есть геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению.

Ось мнимая и действительная, фокусы. c²=a²+b²

Асимптоты: Полуоси – до асимптот от начала координат.

Т2. Точка M плоскости принадлежит гиперболе тогда и только тогда, когда абсолютная величина разности расстояний от фокусов F₁ и F₂ до точки M равна 2a.

Свойства гиперболы

1. Симметрия относительно осей координат и начала координат.

2. Не пересекает ось Oy.

3. |x|≥a

4. a<с

5. а=в – равнобочная гипербола

6. График гиперболы насколько угодно близко приближается к асимптотам.

→1 (узкая); →∞ (широкая)

- с центром в точке М(х₀; у₀)

─ сопряженная гипербола (ветви вверх)