1. Случайные события. Действия над событиями

Определение 1 Множество элементарных исходов относительно произведенного испытания называется пространством элементарных исходов и обозначается Ω(омега).

Определение 2 Случайным событием называется любое множество элементарных событий.(обознач-ся А,В,С,…)

Действия над событиями:

1. Если при появлении А происходит и B, то говорят, что событие А влечет за собой событие В и обозначают А B.

2. Если А B, и В А, то говорят, что события А и В равновозможны и обозначают А=В.

3. Событие, состоящее в том, что появится, хотя бы одно из событий А или В называют суммой событий. А+В

4. Событие, состоящее в том, что события А и В появятся одновременно называют произведением событий А*В

5. Событие, состоящее в том, что А произойдет, а В не произойдет называется разностью А-В.

6. Событие, состоящее в том, что А произойдет, а А не произойдет называется противоположным.

7. Событие называется достоверным, если оно с необходимостью (точно) происходит и обозначается Ω(омега).

8. Событие называется невозможным, если оно с необходимостью не происходит и обозначается Ø.

9. События А и называются противоположными, если их одновременное появление невозможно и в сумме они дают пространство элементарных событий. А * = Ø. А + =Ω.

10. События А и В называются несовместными если их одновременное появление невозможно. А * В= Ø.

11. События В1, ..., Вn образуют полную группу, если любые 2 из них одновременно появится не могут и в сумме они дают пространство элементарных событий.

Вi * Bj= Ø, i j.

B1+… Bn=Ω.

2. Классическая вероятность и ее св-ва.

Классическая вероятность - отношение числа несовместных равновероятных событий составляющих А к общему числу элементарных событий.

P(A)= m/n.

Эта формула приемлема, если:

1. Число элементарных событий (n) конечно.

2. Все элементарные исходы равновозможны.

Свойства классической вероятности:

1. Для любого события вероятность есть число неотрицательное: P(A)>= 0.

2. Теорема сложения: Если событие А можно разбить на 2 несовместных события В и С, то вероятность события А равна P(A)=P(B)+P(C).

3. Вероятность достоверного события единична P(Ω)=1, P(Ω)=n/n.

4. P( )=1 – P(A)

5. Вероятность невозможного события 0: P(Ø)=0 , так как m=0.

6. Если событие А влечет за собой событие В, то P(A) P(B).

_{7. Для любого события А}

4. Формулы комбинаторики, гипергеометрическое распределение.

При решении задач по формуле классической вероятности часто применяют формулы комбинаторики.

1. Перестановками называются комбинации составленные из одних и тех же элементов, которые отличаются только порядком их расположения. Число перестановок из n элементов вычисляется по формуле

Pn = n!

2. Размещениями называются комбинации, составленные из n элементов по m, которые различаются либо составом элементов, либо порядком их следования. Число размещений из n элементов по n вычисляется по формуле

3 . Сочетанием называется комбинации, состоящие из n элементов по m, которые различаются только составом элементов. Число сочетаний из n элементов по m вычисляется по формуле:

Свойство сочетаний.

1. C⁰_n=1

2. C¹_n=n

3. C^m_n= C^n-m_n

Гипергеометрическое распределение

Пусть в урне имеется N шаров, среди которых М белых, а остальные черные. Наудачу вытащили k шаров, найти вероятность того, что среди них l белых.

N M-бел (N-M)-чер

K m-бел (k-m)-чер