29. Точечное оценивание.

Пусть вид распределения изучаемого признака X известен, но неизвестны значения входящего параметра . Например, пусть X имеет нормальное распределение и нужно оценить значение параметров.

Статистическая оценка – любая функция выборки.

=f(x₁,x₂,…,x_n)

- стат. Оценка.

Точечной оценкой называется оценка, которая дается одним числом.

Для того, чтобы стат. оценка давала значение приближенное к , она должна обладать определенными свойствами.

1. оценка называется несмещенной, если ее мат.ожидание = оцениваемому параметру M( )= .

Это свойство означает отсутствие ошибки одного знака.

Примерами несмещенной оценки являются ср. значения для мат. ожидания: , - оценка мат.ожидания.

M(x_i )=a, D(x_i )=

Примером смещенной оценки является выборочная дисперсия для теоретической дисперсии

Для того, чтобы получить несмещенную оценку вводится понятие исправленной выборочной дисперсии.

Оценка называется состоятельной, если при она стремится по вероятности к оцениваемому параметру.

На основании закона больших чисел можно показать, что среднее значение является состоятельной оценкой для мат.ожидания.

Можно показать, что начальный и центральный эмпирические моменты являются состоятельными оценками соответствующих теоретических моментов.

В частности выборочная дисперсия является состоятельной оценкой теоретической.

Для больших n поэтому можно вычислять только в случае малых выборок (n<30)

Оценка называется эффективной, если она имеет наименьшую возможную дисперсию среди всех других оценок, вычисленных по выборке объема n.

31. Доверительные интервалы.

Оценка неизвестного параметра, который задается двумя числами (концами интервала) называется интервальной.

Пусть по выборке получена точечная оценка неизвестного параметра . Это оценка чем точнее, чем меньше | - |.

Пусть | - |< , >0.

Методы математической статистики не позволяют на 100% утверждать, что выполняется это неравенство. Можно лишь говорить о вероятности его выполнения.

-доверительная вероятность или надежность, выбирается исследователем самостоятельно.

Доверительным называется интервал , который покрывает параметр с заданной надежностью .

- точность оценки.

Замечание:

Неверно говорить, что попадает в интервал, т.к. мы вычислили границы интервала, которые заключают в себе .

Доверительные интервалы строятся следующим образом:

1. вычисляется точечная оценка

2. выбирается надежность

3. вычисляется точность оценки

32. Распределение х Стьюдента и Фишера.

Рассмотрим распределение случайных величин, которые строятся путем функционального преобразования нормальных случайных величин и используются в математической статистике.

1. пусть независимы и распределены по нормальному закону. Тогда с.в. называется распределенной по закону с n степенями свободы.

При распределение медленно стремится к нормальному.

2. Пусть - независимы и имеют распределение

, тогда случайная величина

называется распределенной по закону Стьюдента с k степенями свободы.

Плотность распределения Стьюдента схожа с нормальной.

При распределение Стьюдента быстро стремится к нормальному.

При k>140 аргумент плотности нормального распределения отличается на тысячные.

3. Пусть независимы и имеют распределение

с k₁ и k₂ числом степеней свободы. Тогда распределение называется распределением по закону Фишера с k₁ и k₂ числом степеней свободы.

Замечания:

1. Случайная величина Фишера строится так, что она всегда больше 1.

2. k₁ относится к с.в. в числителе.