8. Предельные теоремы в схеме Бернулли.
При больших n применение формулы Бернулли затруднительно.
В связи с этим были доказаны теоремы, позволяющие получить прибл. знач. вер-сти в формуле Бернулли по простым формулам
При больших n возможны 2 случая предельных переходов:
1. n → ∞ p → 0
2. n → ∞ p(0;1)
Теорема
Пуассона.Е
сли
в схеме Бернулли
,
a
,
так что np
= a
(т.е. конечно), то (a<=10).
Замечания.
1. a = np – среднее число появления события a в n испытаниях.
2. np<=10.
Локальная предельная теорема Муавра-Лапласса.
Е
сли
m
,
а p
– конечное число из интервала (0,1), то
для каждого c>0
и
<c,
где справедливо,
где
-
плотность нормального распределения.
Интегральная предельная теорема Муавра-Лапласса.
Если n , a p – конечное число из интервала (0,1), то равномерно по всем a и b справедливо
Замечания.
1. Функция Муавра-Лапласса нечетная, поэтому Ф0(-z)=-Ф0(z)
2. Функция асимптотическая и стремится к 0,5 при z>5
. .
9. Функция распределения вероятности и ее свойства.
Одним
из основных понятий теории вероятности
является случайная величина. Случайная
величина является функцией элементарного
исхода.
.
Случайные величины бывают дискретные,
непрерывные и другие. Для того, чтобы
одинаковым способом характеризовать
случайные величины различной природы
вводится понятие функции распределения
вероятности.
О
пределение
8.1. Вероятность
того, что случайная величина
примет
значение меньшее x
называется функцией
распределения вероятности.
Функция распределения вероятностей является неслучайной величиной, вычисленной на основании закона функции распределения.
Определение 8.2. Дискретной называется случайная величина, которая принимает конечное или счетное множество значений.
Пусть xi – возможное значение случайной величины .
-
вероятность этих значений.
Множество пар (xi, pi) называются законом распределения вероятностей дискретной случайной величины.
Обычно закон распределения изображается в виде таблицы
|
X1 |
X2 |
X3 |
X4 |
X5 |
P |
P1 |
P2 |
P3 |
P4 |
P5 |
Для полной вероятностной характеристики случайной дискретной величины необходимо знать ее закон распределения.
Определение 8.3. Непрерывной называется случайная величина, которая может принимать значения из некоторых промежутков.
Свойства функции распределения
1.
Для всех
,
так как это вероятность.
2. F(x) –неубывающая функция.
Событие
можно
представить в виде суммы двух несовместных
событий
Тогда
;
Следствия.
1. Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал - приращение ф-ции распределения на этом интервале.
2. Вероятность принять одно фиксированное значение для непрерывной случайной величины равно 0.
3. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в открытый или замкнутый промежуток одинакова.
4. F(x) непрерывна в точке слева в каждой точке
5.
