10. Плотность распределения вероятности и ее свойства.

Плотностью распределения вероятности случайной величины называется производная функции распределения.

Свойства.

1. _{Для всех} , так как это производная неубывающей функции.

2.

3.

4. Свойство нормировки:

Следствие.

Если все возможные значения случайной величины заключены в интервале от a до b, то

Е сли существует неотрицательная непрерывная функция

то p(y) называется плотностью распределения вероятности.

11. Математическое ожидание и его свойства.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины с законом распределения (x_i, p_i) называется сумма ряда

если этот ряд сходится абсолютно.

Замечание: Если математическое ожидание равно бесконечности, то говорят, что оно не существует.

даёт среднее значение взвешенное по вероятности, если не все вероятности в некотором примере равны.

Непрерывной случайной величины с плотностью вероятности р(х) называется интеграл =

Свойства математического ожидания.

1. M(C)=C, С-const

2. M

3. Для независимых случайных величин событий и мат ожидание произведения равно произведению мат.ожиданий

M( * )=M *M

Следовательно M(a )=a M

12. Дисперсия и ее свойства.

Дисперсией называется математическое ожидание квадрата отклонения (X) от своего мат. ожидания.

DX=M(X-MX)²=M(X²-2X*MX+(MX)²)=MX²-2(MX)²+(MX)²=MX²-(MX)², т.е.

DX=MX²-(MX)²

Дисперсия для дискретной случайной величины с законом распределения x_i p_i равна

Для равномерного распределения дисперсия зависит от длины отрезка. Чем больше отрезок, тем больше разбросаны значения вокруг середины отрезка.

Следовательно дисперсия характеризует рассеяние возможных значений вокруг своего математического ожидания.

Средним квадратическим отклонением называется корень квадратный из дисперсии.

Свойства дисперсии

1. D(C)=0

2. Для независимых случайных величин дисперсия суммы равна сумме дисперсий.

3. D(CX)=C²D(X)

4. D(a +b)=a²D

13. Коэффициент корреляции Ковариация.

Коэффициентом корреляции называется

Свойства

1.

2. для двух независимых с.в. коэффициент корреляции равен 0. Обратное не верно.

3.если две независимые с.в. связаны линейной функциональной зависимостью, то в этом случае p( ₁, ₂)=1

Если , то говорят, что ₁ и ₂ связаны корреляционной зависимостью, тем более тесной, чем ближе к 1.

Коэффициент корреляции служит для количественной характеристики зависимости между случайными величинами.

Если , то говорят, что зависимость близка к линейной.

Ковариацией случайных величин называется произведение отклонений случайных величин от своего мат. ожидания.

cov ( ₁, ₂)=M( ₁, ₂) - M ₁* M ₂

Свойства ковариации

1. cov( ₁, ₁)=M( ₁-M ₁)²=D ₁

2. для независимых случайных величин коэффициент ковариации равен 0

Но обратное не верно. Т.е. можно привести пример, когда cov=0, но случайные величины зависимы.

3.

14. Моменты.

Обобщающими понятиями от матожидания и дисперсии являются моменты

Начальным моментом порядка k называется матожидание . =M _=Mξ, ₂=Mξ²

Центральным моментом ожидания порядка k называется матожидание в степени k отклонения случайной величины от своего математического ожидания υ_k=M( -M )^k=0

Например второй центральный момент это дисперсия.

υ₂=M ( -M )²=D =M - (M )² _

Любой центральный момент можно выразить через начальный. Например третий центральный момент

υ_k=f(μ₁, …,μ_k)