42. Парная регрессия.

Интересует установление взаимосвязи между двумя признаками X и Y.

X и Y могут быть независимы, связаны между собой функциональной либо корреляционной зависимостью.

При корреляции зависимость изменений каждого отдельного значения Х необязательно влечет за собой изменение Y, однако изменение приводит к изменению .

Зависимость вида y=f(x)+ , - ошибка оценки.

Чтобы установить вид зависимости строится поле корреляции. На XOY наносят координаты (x_i, y_j) и по расположению точек делают вывод о виде зависимости.

Пусть вид зависимости линейный.

(1)

Коэффициенты b₀ и b₁ найдем по методу наименьших квадратов

теоретические значения y. Найдем b₀ и b₁ такие, при которых функция S достигает минимума.

Перейдем к средним значениям, поделив на n.

(2)

(1)

Можно показать, что (1) , (2) дают min ф-ии S.

b₁ коэффициент регрессии

b₀ свободный член

43. Парный коэффициент корреляции.

-

выборочный коэф-нт корреляции

Коэффициент обладает все теми же свойствами, что и теоретический коэффициент корреляции.

1. если x и y независимы, то 0.

2. -1<= 1

3. если x и y связаны линейной зависимостью, т.е.

при , то

b>0, =1

b<0, =-1

Таким образом коэффициент является количественной характеристикой зависимости x и y. Чем ближе к единице, тем теснее и ближе к линейной зависимости между X и Y.

44. Проверка гипотез о достоверности коэффициента корреляции.

Пусть на выборке объема n найден коэффициент корреляции X и Y и он отличен от 0. Возможно, при этом, что генеральный коэффициент корреляции равен 0, а выборочное отличие от 0 случайно.

Проверим

H₀: =0

H₁:

Для проверки гипотезы H₀ используем свойство T

При справедливости H₀ эта случайная величина имеет распределение Стьюдента с (n-2) числом степеней свободы.

Проверка H₀ осуществляется следующим образом:

-вычисляется наблюдаемое значение критерия по таблице

критических точек распределения Стьюдента

max

|Тнабл|>Tкр, то H₀ отвергается и принимается H₁, следовательно X и Y связаны между собой достоверной корреляционной зависимостью.

|Тнабл|<Tкр, нет основания отвергнуть H₀, то недостоверно отличается от 0 (случайно) и между X и Y нет корреляционной зависимости.

3)Аксиомы теории вероятностей вводятся таким образом, чтобы вероятность события обладала основными свойствами статистической вероятности, характеризующей ее практический смысл. В этом случае теория хорошо согласуется с практикой.

Пусть Ω – множество всех возможных исходов некоторого опыта (эксперимента), S – алгебра событий. Совокупность S подмножеств множества Ω называется алгеброй (σ-алгеброй), если выполнены следующие условия:

1)S содержит невозможное и достоверное события.

2) Если события А₁, А₂, А₃,… (конечное или счетное множество) принадлежат S, то S принадлежит сумма, произведение и дополнение (т. е. противоположное для А_i) этих событий.

Вероятностью называется функция Р(А), определенная на алгебре событий

S,принимающая действительные значения и удовлетворяющая следующим аксиомам:

А1. Аксиома неотрицательности: вероятность любого события А пренадлежащего S неотрицательна, т. е.: Р(А) ≥ 0.

А2. Аксиома нормированности: вероятность достоверного события равна единице, т.е.: Р(Ω) = 1.

А3. Аксиома аддитивности: вероятность суммы несовместных событий, т. е. если А_i ∙ Аj = Ø (і ≠ ј), тоР(∑ А_k) = ∑ Р(А_k).

Совокупность объектов (Ω, S, Р), где Ω – пространство элементарных событий, S – алгебра событий, Р – числовая функция, удовлетворяющая аксиомам А1-А3, называется вероятностным пространством случайного эксперимента.

Вероятностное пространство служит математической моделью любого случайного явления; заданием этого пространства завершается аксиоматика теории вероятностей